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leedobb

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[交流] 越位科普系列--数学篇之“数的构造”

来个搬门弄斧。若有错误之处，请不吝指出。
原文链接

近世代数（群论、环、域理论）给出了数的骨架结构；
集合论关于无穷的论述相当于了数的血肉；
而测度论赋予了数应有的气息。

另外，文中没有谈皮亚诺关于自然数的公理系统。

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1楼 2015-09-05 07:39:27

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leedobb

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leedobb: 回帖置顶 2015-09-05 15:02:23

引用回帖:

27楼: Originally posted by hylpy at 2015-09-05 14:19:07
看不到啊???????????

那我帖一下吧，是微博长文
-------------------
越位科普系列按：
最近中国科学家们都忙着发文章，作者只好冒险越位科普科普。但作者知识水平有限，若有错误或不理解之处请不吝指出。另外需要提醒在校学生谨记科普不能代替专业学习，真正深入的学习还得找专业的书籍，因此本系列每篇文章最后都会附上专业参考书及一些概念更精确的定义。
------
我们每天都在跟数打交道，早上起来，看了一下手机，唉啊9点30分了，要迟到了，先看看股票吧，嗯3200多点，跌了一点点，那支股票我每股12元买入的，现在都跌到6块5了，让我算算亏了多少钱......
如此看来，似乎我们都很懂数。最起码小华觉得他懂有理数，然后集合论的发明者康托问小华那你知道有理数和整数谁的个数多吗？小华一想有理数包括了整数，因此说有理数多。康托说，看来你还是不太懂数。后来康托又问小华下面几个问题，他大多都没答上来。
1、有几种数呢？
   简答（后期唐僧）：整数（...-1,0,1,2...）、有理数(2/3,1.5,1,7/8...)、实数(Pi, 2.12，√3...)、复数(i, 1+2i,...)。其中整数通常称为整数环(Integer Ring), 其它三种有理数，实数，复数称为数域(field)，可严格证明它们是仅有三种可交换的无限数域。对了你先别问我什么是数域，我叫正常唐僧告诉你，或者见附录。
   长答（正常唐僧）：不好意思，我说话有点JJWW，若不想听，可直觉跳至下一问。当然有自然数、整数，其中自然数｛0，1，2，3...｝就是非负整数，我默认你们都知道什么是整数。在整数里你可以有加减乘除，其中任何两个整数加減仍然为整数，有时我们说整数对加减法闭合，但两个整数相除不一定为整数，此时数学家会说整数对加法成“群”，对乘法不成群，这种数学结构通常被称为“环”或叫整数环。
你会问两个整数相除除不尽咋办，那简单把除不尽的数包括进来统称为有理数就行了，此时有理数显然比整数要“完美”，因为它对加法闭合，除去0对乘法也闭合，即有理数就成“域”了，通俗一点讲就是：有理数通过加法和乘法这两种滚法是滚不出有理数这个域的。事实上，有理数是最小的无限数域。
貌似事情就这么结束了，但好事者说a*a我好像可以定义成叫a的平方，然后大家就会倒过来想，比如什么的平方等于2？完了，这下滚到外面去了，这个数不是有理数！我们直接写成根号2，即√2=1.414....，好，再把其它通通都包括进来，于是我们把有理数又进一步扩展成实数域（它包含了有理数和无理数）。实数域的数在实数轴上表达起来很直观，嗯，这下事情总算结束了吧。看起来实数已经真的包含了所有的数，而且似乎也很完美。
   等等，那什么的平方等于-1？一开始大家都觉得-1的开平方无意义。但人们发现解n次方程时，一般都有n个解，但不知道为什么有时少于n个解（即使算上简并解），若把-1开平方当成有意义的话，人们就发现所有的n次方程都是n个解了。因此，从对称性上考虑，我们似乎应该把i=√-1也得看成一个数，此时你会问i的本质是什么？其实i的本质就是它的平方等于-1，就像2的本质就是1的后继者一样。于是，人们很快发现把i囊括进来后，很容易把实数拓展到一个全新的数域即复数域，它把实数域里没能展现出来的对称性都展现出来了。这下基本上再怎么好动也滚不出去复数域了。比如，在实数域内三角函数sinx,cosx看起似乎有点关联又不太一样，但它们若在复数域则可以表达成一个统一的函数exp(ix)，此时就对称多了，因为之前的复杂的sin(x+y)展开公式到了这就只是exp(i(x+y))=exp(ix)*exp(iy)这么简单了，对称性暴露无余，或者叫本来在复数域极为对称的数学构造投影在实数轴上，只露出一个不太规则的截面。
正是由于复数域极佳的对称性，同学们会发现物理学领域到处可见复数的踪影，主要是因为物理学也是极其讲究对称性的学科（即便看起来这类数有点虚）。
当然，除了这三种数域，还有四元数，但对乘法不交换。另外，还有一类外尔代数里的数，这种数交换后改变符号，即a*b=-b*a, 这样就会出现a^n=0(n>=2)这种情形，这种数适合描述费米子对应的场。
  2、每种数的个数一样多吗？
   简答（后期唐僧）：整数与有理数的个数一样多，可数无穷多个，即可以一个个列下去（即使是无穷多个）。但实数的个数比有理数要多，为不可数无穷多个，即你不可能找到一个把实数一个个无穷排下去的方案告诉别人这是所有的实数；如果有理数个数为N个的话，实数的个数就为2的N次方个。而复数的个数跟实数的个数一样多，比如实数的个数为H个的话，复数的个数应该为H^2仍然等于H个（但2^H大于H，无穷大的数的计算中，一般只有无穷大出现在指数上时才有可能产生更大的数）。
   长答（正常唐僧）：或许对于这个问题，你只要记住后期唐僧说的话就行了。具体的解释呢，我会尝试唠叨点，但不要期望太高。
   这个问题其实本质上涉及到什么是无穷以及无穷的种类。在康托之前，人类对于无穷的认识极其含糊。康托通过构建他的集合论，借助映射这个强大的工具，终于能够分析比较不同集合的大小，他发现有理数和整数可以实现一对一的映射，因此它们的个数一样多，你或许会觉得有理数好像多了许多，而且似乎也不能列成一串变成所谓的可数无穷，但康托通过把有理数m/n表达成数对(m,n)，再把它斜角重排连线后就会发现，可变成一串可数无穷。
   然后，康托证明了人类史上几乎是最伟大的数学证明，他发现实数的个数比有理数多！后来，他用了一个更简单的对角论证法(wiki diagonal argument)重新证明了这一论点。作者认为他的这个发现在人类思想史的重要性比爱因斯坦的相对论还重要。
   而复数的个数与实数个数一样多，另外甚至n维空间里的点的个数也跟实数的个数一样多，这里不要混淆体积与集合大小这两个概念。这可能也有点不好理解。而实数函数的总的个数为2^H比实数个数要多。
2、0到1之间所有有理数的总长度为多少？
   简答（后期唐僧）：当然我们知道所有数的总长为1，这里定义的长度一般称为测度。有理数的总长度为0，实数的总长度为1。这似乎给人一种感觉，有理数虽然貌似非常密，任意两个离得再近的有理数之间仍然可以再塞进新的有理数，但有理数似乎仍然是“漏水”的，而实数则真是密不透风，具体这部分的回答还是直接看书比较好。贫僧只能帮到这了。
   长答（正常唐僧）：走，西竺。

---------
  附录：
  推荐书目：姚慕生，《抽象代数学》，复旦大学出版社
               胡适耕，《实变函数》，高等教育出版社
               克莱因，《古今数学思想史》
  -------
  基本概念：
  群：非空集合G上定义有一运算（如乘法）a*b 使得该运算满足
封闭性：a,b属于G则，a*b也属于G
结合性：(a*b)*c=a*(b*c)
单位元：存在单位元e，使得G任意元素都有a*e=e*a = a
逆元：对G任意元素a,存在b使得，a*b=e
  环：一个集合R定义有两种运算(+和*)，且满足以下三个公理
R对加法成交换群
R对乘法为存在单位元的半群，即封闭、满足结合率，有单位元，但有些元素没逆元。
乘法对加法满足分配律：a*(b+c)=a*b+a*c
域：一个集合F有两种运算(+和*）,且对加法成群，F-{0}后对乘法成群，乘法对加法满足分配律。
  对角论证：
   反证法，假设0到1之间的实数也是可数无穷，那么假设s1,s2,s3,s4,s5,....包含了所有实数，并把它写成二进制（前面省略了0.）。现在构造一个数s使得它的第i位与si的第i位互补，那么显然s不属于s1,s2,s3,....序列中的任意一个，这与开始假设这个序列包含所有实数相矛盾。