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sdztao金虫 (著名写手)
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2015年国际数学奥林匹克竞赛（IMO）试题（转帖） 已有5人参与
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2015年国际数学奥林匹克竞赛（IMO）试题 第1题 我们称平面上一个有限点集S是平衡的，如果对S中任意两个不同的点A，B，都存在S中一点C，满足AC=BC。我们称S是无中心的，如果对S中任意三个不同的点A，B，C，都不存在S中一点P，满足PA=PB=PC。 （a）证明：对每个整数 n≥3，均在一个由n个构成的平衡点集。 （b）确定所有的整数n≥3，使得存在一个由n个点构成的平衡且无中心的点集。 第2题 确定所有三元整数组（a，b，c），使得ab－c，bc－a，ca－b中每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2n的整数，其中n是一个非负整数。） 第3题 在锐角三角形ABC中，AB>AC，设r是它的外接圆，H是它的垂心，F是由顶点A处所引高的垂足，M是边BC的中点，Q是r上的一点，使得∠HQA=90°。K是r上的一点，使得∠HKQ=90°。已知点A、B、C、K、Q互不相同，且按此顺序排列在r上，证明：三角形KQH的外接圆和三角形FKM的外接圆相切。 ＰＳ：转帖  2015IMO—第3题图.png |
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初中时对平面几何的辅助线就觉得太过神奇，从虚无中来，到虚无中去，不是我能掌握的， 暂且用解析几何的简单暴力来求解。感谢吴文俊老师的机器证明方法， 以力破巧。 先做一些假设：原点设在圆ABC的圆心； 设圆ABC为单位圆； 由于M，H，N，Q共线，设该线平行于X轴；由于不想处理半角的三角函数， 设坐标有一点点奇怪， 取a,b使得 A点坐标 记D点为A点关于O点的对称点 下面开始炒菜。 证明两圆KHQ， KFM相切，由于它们有显然交点K，只需要证明两圆圆心与K三点共线。由于圆KFM的圆心就是 MF中垂线与MK中垂线的交点，圆KHQ的圆心就是N点，具体做法是：列出NK直线与MF中垂线的交点的方程， 再列出NK直线与MK中垂线的交点方程。 如果两个方程得到的x坐标是一样的，自然三点共线。 这个方法可以尽量避免不必要的运算。圆KFM圆心坐标也许非常复杂，但干卿何事。 直线NK的方程为 NK交MK中垂线的交点的x坐标满足 稍加化简，就是要求证明 这一路走来，我们几乎都没做实质性的计算，可上面的三角恒等式就没法再逃避了。 大神们，请证明上述恒等式吧。  三角恒等式.png |
5楼2015-08-03 07:06:59
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原来吴文俊是你老师，怪不得这么厉害 6楼2015-08-03 13:06:54
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我不是吴老师的学生， 您谬赞了 吴方法举世皆知， 简单而深刻，让人心向往之 http://baike.baidu.com/view/1567435.htm 几何定理机器证明 |
7楼2015-08-03 13:18:26
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