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sdztao

金虫 (著名写手)

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[交流] 2015年国际数学奥林匹克竞赛（IMO）试题（转帖）已有5人参与

2015年国际数学奥林匹克竞赛（IMO）试题

　

第1题

　　我们称平面上一个有限点集S是平衡的，如果对S中任意两个不同的点A，B，都存在S中一点C，满足AC=BC。我们称S是无中心的，如果对S中任意三个不同的点A，B，C，都不存在S中一点P，满足PA=PB=PC。

　　（a）证明：对每个整数 n≥3，均在一个由n个构成的平衡点集。

　　（b）确定所有的整数n≥3，使得存在一个由n个点构成的平衡且无中心的点集。

　　第2题

　　确定所有三元整数组（a，b，c），使得ab－c，bc－a，ca－b中每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2n的整数，其中n是一个非负整数。）

　　第3题

　　在锐角三角形ABC中，AB>AC，设r是它的外接圆，H是它的垂心，F是由顶点A处所引高的垂足，M是边BC的中点，Q是r上的一点，使得∠HQA=90°。K是r上的一点，使得∠HKQ=90°。已知点A、B、C、K、Q互不相同，且按此顺序排列在r上，证明：三角形KQH的外接圆和三角形FKM的外接圆相切。

ＰＳ：转帖

2015IMO—第3题图.png

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1楼2015-07-21 21:37:50

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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初中时对平面几何的辅助线就觉得太过神奇，从虚无中来，到虚无中去，不是我能掌握的，暂且用解析几何的简单暴力来求解。感谢吴文俊老师的机器证明方法，以力破巧。

先做一些假设：原点设在圆ABC的圆心；设圆ABC为单位圆；由于M，H，N，Q共线，设该线平行于X轴；由于不想处理半角的三角函数，设坐标有一点点奇怪，取a,b使得
A点坐标 $(\cos(a+b),-\sin(a+b))$ , Q点坐标 $(\cos(a+b),\sin(a+b))$ 。于是整个图形其它点登时完全确定。

记D点为A点关于O点的对称点 $(-\cos(a+b),\sin(a+b))$ ， K点 $(\cos(a-b),\sin(a-b))$ ， H点坐标 $(2\frac{\sin{b}}{\sin{a}}+\cos(a+b),\sin(a+b))$ . 然后M点为DH的中点，坐标为
$(\frac{\sin{b}}{\sin{a}},\sin(a+b))$ ， N为QH的中点 $(\frac{\sin{b}}{\sin{a}}+\cos(a+b),\sin(a+b))$ ， F点的坐标要稍作计算，为
$(\frac{\sin{b}}{\sin{a}}+\frac{\sin{a}\cos{a}\sin^3(a+b)}{\sin^2{b}+\sin^2{a}\sin^2(a+b)},\sin(a+b)-\frac{\cos{a}\sin{b}sin^2(a+b)}{\sin^2{b}+\sin^2{a}\sin^2(a+b)})$ .

下面开始炒菜。证明两圆KHQ， KFM相切，由于它们有显然交点K，只需要证明两圆圆心与K三点共线。由于圆KFM的圆心就是 MF中垂线与MK中垂线的交点，圆KHQ的圆心就是N点，具体做法是：列出NK直线与MF中垂线的交点的方程，再列出NK直线与MK中垂线的交点方程。如果两个方程得到的x坐标是一样的，自然三点共线。这个方法可以尽量避免不必要的运算。圆KFM圆心坐标也许非常复杂，但干卿何事。

直线NK的方程为 $Y=\tan(2a)X -\frac{\sin(a+b)}{\cos(2a)}$ , 所以NK交MF中垂线的交点的x坐标满足
$\tan(2a)X-\frac{\sin(a+b)}{\cos(2a)}-(\sin(a+b)-\frac{\cos{a}\sin{b}\sin^2(a+b)}{2(\sin^2{b}+\sin^2{a}\sin^2(a+b))})=\frac{\sin{a}\sin(a+b)}{\sin{b}}(X-(\frac{\sin{b}}{\sin{a}}+\frac{\sin{a}\cos{a}\sin^3(a+b)}{2(\sin^2{b}+\sin^2{a}\sin^2(a+b))}))$

NK交MK中垂线的交点的x坐标满足

$\tan(2a)X-\frac{\sin(a+b)}{\cos(2a)}-\sin{a}\cos{b}=\frac{\sin(a-b)}{2\sin{a}\sin{b}}(X-(\frac{\sin{b}}{2\sin{a}}+\frac{\cos{a-b}}{2}))$

稍加化简，就是要求证明
$(\frac{1}{\cos(2a)}-\frac{\cos{a}\sin{a+b}}{2\sin{b}})(\tan(2a)-\frac{\sin(a-b)}{2\sin{a}\sin{b}})=(\frac{1}{\cos(2a)}+\frac{\sin{b}-\sin{a}\cos(a+b)}{4\sin^2{a}\sin{b}})(\tan(2a)-\frac{\sin{a}\sin(a+b)}{\sin{b}})$

这一路走来，我们几乎都没做实质性的计算，可上面的三角恒等式就没法再逃避了。大神们，请证明上述恒等式吧。

三角恒等式.png

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We_must_know. We_will_know.

5楼2015-08-03 07:06:59

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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

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国际奥赛就做这些。。。。。。。坑货简直

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板凳要做十年冷文章不发一个字

2楼2015-07-22 13:57:29

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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็

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5楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-03 07:06:59
初中时对平面几何的辅助线就觉得太过神奇，从虚无中来，到虚无中去，不是我能掌握的，暂且用解析几何的简单暴力来求解。感谢吴文俊老师的机器证明方法，以力破巧。

先做一些假设：原点设在圆ABC的圆心；设圆A ...

原来吴文俊是你老师，怪不得这么厉害