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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 不定积分问题求大神救赎
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harleyyao2

新虫 (初入文坛)

[求助] 不定积分问题求大神救赎 已有1人参与

如图
A B C都是任意实数
不定积分问题求大神救赎
2015-07-20 084613.jpg
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1楼 2015-07-20 09:16:59
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
harleyyao2: 金币+7, ★★★很有帮助 2015-07-29 10:09:12
这个积分不难求。
（一）假设A=0 ，则令sqrt(B*x+C)=u, dx=2/B*u*du
           原式=Integral{1/u*2/B*u*du}=2/B*u+ α =2/B*sqrt(B*x+C)+ α
         此处α为积分常数。
（二）假设A>0 ,
           原式=Integral{1/sqrt(A)*1/sqrt{[x+B/(2*A)]^2+[(4*A*C-B^2)/(4*A^2)]}*dx}
          令u=x+B/(2*A)
        (1) 如果 4*A*C-B^2=0
             原式=1/sqrt(A)*Integral{1/[x+B/(2*A)]*dx}=1/sqrt(A)*Ln[x+B/(2*A)] + α
            此处α为积分常数。
      (2) 如果 4*A*C-B^2>0  令β=sqrt{4*A*C-B^2}/(2*A)
            原式=1/sqrt(A)*Integral{1/sqrt{[x+B/(2*A)]^2 + β^2}*dx}
         再令u=β*tanθ, 这样被积函数的积分变为三角函数的有理分式的积分，套用现有公式可解决，不赘述。
      （3）如果 4*A*C-B^2<0  令β=sqrt{-4*A*C+ B^2}/(2*A)
            原式=1/sqrt(A)*Integral{1/sqrt{[x+B/(2*A)]^2 - β^2}*dx}
         再令u=β/Cosθ, 这样被积函数的积分变为三角函数的有理分式的积分，套用现有公式可解决，不赘述。
（三）假设 A<0
        和上面（二）中的讨论相似，只不过被积函数变为了1/sqrt(-A)*1/sqrt( β^2±u^2)而已。处理方法也同 （二）中的相似，这里也不赘述了。
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4楼2015-07-20 22:18:17
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
harleyyao2(feixiaolin代发): 金币+8 2015-07-20 10:43:00
http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=8106879
我来推销一下自己的帖子 顺便引荐一下真正的大神（俄罗斯数学家）
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We_must_know. We_will_know.
2楼2015-07-20 09:48:51
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饕—餮

木虫 (著名写手)
配方后三角换元。

[ 发自小木虫客户端 ]
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3楼2015-07-20 12:19:45
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普善至尊

金虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by peterflyer at 2015-07-20 22:18:17
这个积分不难求。
（一）假设A=0 ，则令sqrt(B*x+C)=u, dx=2/B*u*du
           原式=Integral{1/u*2/B*u*du}=2/B*u+ α =2/B*sqrt(B*x+C)+ α
         此处α为积分常数。
（二）假设A>0 ,
           原 ...

x+B/(2*A)=0时？
4*A*C-B^2>0时（即B^2-4*A*C<0），可以不用复数？
要讨论的似乎比较复杂。
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我是管理世事的总无常，早把人家的生死置之度外。
5楼2015-07-20 23:23:04
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