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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » [直线方程] 请高手相助。
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erictan2046

铜虫 (正式写手)

[求助] [直线方程] 请高手相助。 已有3人参与

问题：
        三角形的顶点为A（x1,y1）,B(x2,y2), C(x3,y3)。三角形的重心的坐标为G [(x1+x2+x3)/3 , (y1+y2+y3)/3]。
求证三角形的重心分每一条中线（从顶点到对边中点）成2:1的比。


求详解。
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1楼 2015-07-18 11:11:22
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
erictan2046(feixiaolin代发): 金币+2 2015-07-20 17:15:05
可采用最笨但也最容易理解的方法。
设BC边的中点为D，则其中线为AD，再设三条中线的交点为E。既然已知A和E的坐标值，则中线方程就已知了，先求出D点的坐标值，这样AE和ED的长度就可以求出了，两者相比可得AE/ED=2:1。
同理可证其他两条线。
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4楼2015-07-18 15:24:46
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jx-0721

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+2 2015-07-20 17:15:11
此类含有坐标的题目可以考虑采用向量的方法来解，思路如下：假设D为BC中点，连接AD，由于G为重心则必在线段AD上，利用坐标表示可知向量GA=2向量DG,则结论可证.

[ 发自小木虫客户端 ]
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2楼2015-07-18 12:03:53
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匿名

用户注销 (小有名气)
★
feixiaolin: 金币+1 2015-07-20 17:15:16
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3楼2015-07-18 14:53:25
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普善至尊

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
erictan2046(feixiaolin代发): 金币+3 2015-07-20 17:14:55
设三边AB、AC、和BC的中点分别是D、E和F，则对应坐标是：([x1+x2]/2,[y1+y2]/2)、([x1+x3]/2,[y1+y3]/2)、([x2+x3]/2,[y2+y3]/2)，再分别求G点到A、B、C、D、E和F点的距离AG、BG、CG、GD、GE和GF,直接计算AG/GF、BG/GE、CG/GD，都等于2（写成2/1）就得到证明。这才是老师要学生做的过程。但还有更简洁的计算证明方法：如求AG/GF的距离比，可以分别求x坐标值的比，和y的坐标的值的比，是[x1-(x1+x2+x3)/3]/[(x1+x2+x3)/3-(x2+x3)/2]=2/1，[y1-(y1+y2+y3)/3]/[(y1+y2+y3)/3-(y2+y3)/2]=2/1，显得很灵活！
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我是管理世事的总无常，早把人家的生死置之度外。
6楼2015-07-18 20:07:36
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