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【讨论】关于矩阵的一些思考和疑问！
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关于矩阵的一些思考和疑问！ 从上学那时候开始 ，就感觉大学里所有的数学学科都学得不咋地，和高中初中截然不同，很难找到合适的教材，那时候懵懵懂懂，信息闭塞，也不知道上网查资料，上图书馆借资料查询感觉很难找到合适的参考书来解我心头的很多数学方面的疑惑。 如今毕业7、8年了，几乎没有间断过对微积分和矩阵那些东东的思考。感觉很多问题豁然开朗了，当然了，这与工作条件较好不无关系，工作了，有电脑可以查资料，有钱可以买一些好书。 我把矩阵中的一些疑惑列出来与大家分享，希望大家讨论： 1. 矩阵的秩在某种条件下是否具有一定的几何意义？ 2. 矩阵的等价、相抵在欧式空间是否有几何意义？ 3. 矩阵的相似、矩阵的合同、 对角矩阵、 正交矩阵在欧式空间中的几何意义？ 4. 矩阵特征值、特征向量的几何意义（仅在能讨论几何意义的情况下） …… 希望大家能讨论讨论这些问题，以助于从直观的几何概念来理解繁杂的矩阵相关概念。 [search]矩阵[/search] [ Last edited by laizuliang on 2008-8-15 at 23:27 ] |
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10楼2008-11-14 20:12:09
11楼2009-01-01 16:34:39
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楼主值得我们学习，能够提出这么多问题不容易啊，以前一直没有想到过，我一定去想想，和楼主多讨论好啊！ 看了过后初步的一点想法： 1，矩阵的秩就是行（列）向量的线性无关向量的最大数，从行（列）向量生成的空间大小来看，它正好反映了这个向量空间的大小，简单说就是一个几何维数的问题 2，等价（相抵）呢其实也是一个维数的问题，因为有定理俩矩阵秩相等等价于俩矩阵等价 3，至于相似，可能蕴含着各维之间的夹角有什么关系吧，其中对角和正交阵各维之间就是90度，即正交的 4，特征值的大小反映了这维的重要性，可以结合主成分分析结合起来就容易理解了 特征值（绝对值）越大，就越重要 这里的每一个问题都值得深入讨论，不过不一定要局限于初等几何，有利于展开的都可以…… |
12楼2009-01-01 22:43:58
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我的观点同 guobingm 的比较接近，特引用为11楼。 我再加以发挥，本人是自学的，没有老师导引，抛砖引玉。 1）关于矩阵的秩：矩阵的秩就是矩阵的列空间的维数，如果把矩阵看成一个线性映射，则列空间就是矩阵的值域，秩就是值域的维数。反映了这个向量空间的大小。 2）相抵就意味着A矩阵经过一系列的行，列初等变换可以变成B，保持列空间维数不变。 3）相似本质上是相抵，注意到A与B相似则det(A)=det(B)，也就是保持由A的列向量为边的多面体的体积不变。我想特别指出的是A总相似于一个jardan形这样的事实，就是说如果有U^-1*A*U=J,那么它实际上反映了Rn可以分解为若干个不变子空间的直和的事实。 4）特征值和特征向量其几何含义是分明的。省略。 高手指点，我觉得矩阵的概念一定要结合线性变换理解，用矩阵研究有限维的线性空间是一种好方法，但是应该不是唯一的，对于无穷维的线性空间，这种方法就不行了，还是有局限性的，应该找到一种能统一描述有限与无限的方法。要相信：把无限放在手上，永恒在萨那里收藏。 [ Last edited by liuyi5052 on 2009-1-2 at 08:33 ] |
13楼2009-01-01 22:59:17
14楼2009-01-01 23:45:11
15楼2009-01-12 07:26:40