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茶壶bxy

银虫 (正式写手)

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[求助] 100金币求助_MATLAB求球坐标系下的拉普拉斯算子

大家好！我有这样一个问题想请教大家：
我通过计算得到一个三维矩阵V1，它是球坐标系下对应坐标位置 (r,θ,φ) 的电势，其中 r,θ,φ 坐标上取值分别为数组r，theta 和 phi。现在我想对V1求拉普拉斯算子。球坐标系下的拉普拉斯算符如下式：

因为我求过直角坐标系下的拉普拉斯算符，我想到三种思路。

球坐标系下的拉普拉斯算符如下式：

思路一是利用MATLAB自带的离散拉普拉斯算符函数 del2。但是该函数所求的是直角坐标系下的拉式算符，无法直接在球坐标系下使用。将球坐标转化成直角坐标，则又不满足 del2 函数对输入坐标 vectors的要求（转化的直角坐标为三维矩阵）。

思路二是根据拉式算符的表达式用 diff 函数求偏微分计算。这种思路的问题是若 size(V1)为m*n*k，对r 用 diff 求二阶偏微分得到的是 (m-2)*n*k的矩阵，对 θ 和 φ 求二阶偏微分分别得到 m*(n-2)*k 和 m*n*(k-2) 的矩阵，因此这三个矩阵的相加是个问题。

思路三是根据拉式算符的定义求梯度的散度，利用 gradient 函数和 divergence 函数计算。但这两个函数默认按照直角坐标系进行计算，似乎不能求球坐标系下对应的梯度和散度。

我想请教大家，这个问题该怎么做？十分感谢！

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