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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求一个复合函数的积分，感激不尽
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
对不起，前面的弄乱了。这个积分比我开始想象的要难得多，不是简单地直接应用maple可以算出的。所以花了点时间正式的写一下。
求一个复合函数的积分，感激不尽
快照100.jpg
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11楼2014-12-28 15:50:23
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匿名

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12楼2014-12-28 21:43:51
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匿名

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13楼2014-12-29 20:30:48
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匿名

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pippi6: f 有一个积分常数，需要确定。解非线性方程已超出本题范围，建议另开一贴 2014-12-30 02:48:11
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14楼2014-12-29 20:31:01
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★ ★ ★
feixiaolin: 金币+3 2014-12-30 10:11:36
这个积分求起来不难，不过怎么都得不到应助指数了呢？呵呵。

本题的关键是对1/g(x)的处理，将其转化为易积分的形式。由于它是一个有理真分式，可通过代数学中有理真分式的分解，将其转化为易积分的形式。
借助于一元三次方程求根的卡尔丹公式可求得方程g(x)=0的实根。又分四种情况：
（1)有三个实重根x1=x2=x3=p
       此时1/g(x)=A/(x-p)^3+B/(x-p)^2+C/(x-p)
        其中A、B、C均为可用待定系数法确定的常数。这样原方程易积分了。
（2）有三个实根，x1=x2=p，x3=q
       此时1/g(x)=A/(x-p)^2+B/(x-p)+C/(x-q)
        其中A、B、C均为可用待定系数法确定的常数。这样原方程易积分了。
  (3)   有三个实根，x1=p, x2=q, x3=r
       此时1/g(x)=A/(x-p)+B/(x-q)+C/(x-r)
       其中A、B、C均为可用待定系数法确定的常数。这样原方程易积分了。
   (4) 有一个实根，两个共轭虚根，x1=p, x2=q+i*m, x3=q-i*m
       此时1/g(x)=A/(x-p)+[B*(x-q)+C]/{(x-q)^2+m^2}
       其中A、B、C均为可用待定系数法确定的常数。这样原方程易积分了。

结论：无论四种情况中的任意一种情况都可获得积分了。
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15楼2014-12-30 10:07:59
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