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匿名

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1楼2014-12-28 11:37:39

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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feixiaolin: 金币+3 2014-12-30 10:11:36

这个积分求起来不难，不过怎么都得不到应助指数了呢？呵呵。

本题的关键是对1/g(x)的处理，将其转化为易积分的形式。由于它是一个有理真分式，可通过代数学中有理真分式的分解，将其转化为易积分的形式。
借助于一元三次方程求根的卡尔丹公式可求得方程g(x)=0的实根。又分四种情况：
（1)有三个实重根x1=x2=x3=p
   此时1/g(x)=A/(x-p)^3+B/(x-p)^2+C/(x-p)
      其中A、B、C均为可用待定系数法确定的常数。这样原方程易积分了。
（2）有三个实根，x1=x2=p，x3=q
   此时1/g(x)=A/(x-p)^2+B/(x-p)+C/(x-q)
      其中A、B、C均为可用待定系数法确定的常数。这样原方程易积分了。
  (3) 有三个实根，x1=p, x2=q, x3=r
   此时1/g(x)=A/(x-p)+B/(x-q)+C/(x-r)
   其中A、B、C均为可用待定系数法确定的常数。这样原方程易积分了。
(4) 有一个实根，两个共轭虚根，x1=p, x2=q+i*m, x3=q-i*m
   此时1/g(x)=A/(x-p)+[B*(x-q)+C]/{(x-q)^2+m^2}
   其中A、B、C均为可用待定系数法确定的常数。这样原方程易积分了。

结论：无论四种情况中的任意一种情况都可获得积分了。