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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » A+rB是非奇异么
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duinichixin

金虫 (著名写手)

[求助] A+rB是非奇异么 已有1人参与

C=A+iB,C为复矩阵，A,B为实方阵，r为给定正常数，若C为非奇异则可推出A+rB非奇异？
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辉煌在拼搏之后
1楼 2014-12-16 10:27:01
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
不是推得对任意 r 有 A+rB 非奇异，只能推得存在 r 使得 A+rB 非奇异，原因是 g(x)=det(A+xB)是关于 x 的多项式，由于 g(i) 不为零，g(x) 不是零多项式，因此它只有有限个根，而正实数有无穷多个，所以存在正实数 r 使得 g(r) 不为零。
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3楼2014-12-16 11:08:51
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
结论不成立!
比如:
>> A=[1 0;0 1]
A =
     1     0
     0     1
>> B=[-1 0;0 1]
B =
    -1     0
     0     1
>> det(A+i*B)
ans =
     2
>> det(A+1*B)
ans =
     0
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2014-12-16 11:02:19
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duinichixin

金虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2014-12-16 11:02:19
结论不成立!
比如:
>> A=
A =
     1     0
     0     1
>> B=
B =
    -1     0
     0     1
>> det(A+i*B)
ans =
     2
>> det(A+1*B)
ans =
     0...

多谢
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辉煌在拼搏之后
4楼2014-12-16 19:49:27
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duinichixin

金虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Pchief at 2014-12-16 11:08:51
不是推得对任意 r 有 A+rB 非奇异，只能推得存在 r 使得 A+rB 非奇异，原因是 g(x)=det(A+xB)是关于 x 的多项式，由于 g(i) 不为零，g(x) 不是零多项式，因此它只有有限个根，而正实数有无穷多个，所以存在正实数 r ...

多谢
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辉煌在拼搏之后
5楼2014-12-16 19:49:43
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