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wangyymm

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[求助] 分析问题已有1人参与

各位大虾,如何证明R^n中的子集A的点几乎都是正测度聚点? 谢谢!

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1楼 2014-11-05 20:03:44

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sskkyy

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

正测度聚点是怎么定义的？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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2楼2014-11-05 22:55:15

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wangyymm

金虫 (著名写手)

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正测度聚点的定义是: 集A中的点x的任何一个邻域与A的交集的勒贝格测度大于零.

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3楼2014-11-07 08:20:47

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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feixiaolin: 金币+2 2014-11-12 19:00:31

引用回帖:

3楼: Originally posted by wangyymm at 2014-11-07 08:20:47
正测度聚点的定义是: 集A中的点x的任何一个邻域与A的交集的勒贝格测度大于零.

提供一个思路.
不妨设A是R^n中的可测集并且测度大于零. 然后让 $f(x)=\chi_A(x)$ 为示性函数, 就是A中的点取值1, A外的点取值为零.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_point
现在根据可积函数(almost everywhere) 几乎所有的点都是Lebesgue 点, 特别地, 几乎所有A中的点也是f(x)的Lebesque点.

下面简要说明A中的Lebesgue点一定是正测度聚点. 否则, 存在x的某个领域N(x),使得 $N(x)\cap A$ 是零测集. 那么对于任意以x为中心的包含在N(x)中的开球B(x,r), 因为f(x)=1, f(y)=0 almost everywhere, 都有 $\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)} |f(y)-f(x)|dy=\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)} |0-1|dy=1$ , 这与Lebesgue点要求的极限为零是相矛盾的.

如果A 是不可测集, 我就不知道怎么证明了.

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