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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 代数问题
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wangyymm

金虫 (著名写手)

[求助] 代数问题 已有1人参与

向各位大虾请教一个代数问题:如果f(x)与g(x)是互素的复系数多项式,是否存在多项式h(x)使得f^3(x)+g^3(x)=h^3(x)?谢谢!
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1楼 2014-10-28 07:12:44
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by wangyymm at 2014-10-28 21:24:19
大虾,能否证明 : 如果f(x)与g(x)是互素的复系数多项式,则不存在多项式h(x)使得f^3(x)+g^3(x)=h^3(x). 谢谢!

我们可以证明: 如果多项式f(x), g(x),h(x)满足 max(deg(f), deg(g))>0 , (f,g)=1, 那么一定不会有f^3+g^3=h^3.

证明:  用反证法.

(1) 如果, 那么deg(f),deg(g),deg(h)三个数至少有两个相等. 不妨设 , 否则考虑 (-h)^3 +g^3=f^3.

(2) . 由于(f,g)=1, 因此. 如果不可约一次因子p(x)|(f+g),  那么因为p^3|h而p不整除(f^2-fg+g^2), 所以p^3|(f+g).也就是说:
存在多项式p(x),q(x)使得:

(3)这提醒我们用Euler 的降次法. 让
则
因为 (p,g)=1, 所以 , 因此存在多项式r(x), s(x)使得
也就是说, .
这时候,
顺便指出,   (为什么?)

(4) 用这种无穷降次法, 最后一定达到这个唯一的情况:  a^3 +b^3+c^3=0, 其中 deg(a)=deg(b)=1, deg(c)=0.
然而, sskkyy虫友明确提出这种情况不存在, 所以矛盾.
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We_must_know. We_will_know.
5楼2014-10-29 02:39:47
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
wangyymm: 金币+20, ★有帮助 2014-10-28 21:24:54
不一定。比如f=1,g=x. 假设存在h^3=1+x^3. 则h的degree =1. 设h=ax+b. 直接计算发现不可能有这样的a,b.
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2楼2014-10-28 11:49:18
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wangyymm

金虫 (著名写手)
大虾,能否证明 : 如果f(x)与g(x)是互素的复系数多项式,则不存在多项式h(x)使得f^3(x)+g^3(x)=h^3(x). 谢谢!
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3楼2014-10-28 21:24:19
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sskkyy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by wangyymm at 2014-10-28 21:24:19
大虾,能否证明 : 如果f(x)与g(x)是互素的复系数多项式,则不存在多项式h(x)使得f^3(x)+g^3(x)=h^3(x). 谢谢!

不能。比如f=1,g=-1，h=0.满足你的要求。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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4楼2014-10-28 23:29:13
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