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wangyymm

金虫 (著名写手)

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[求助] 代数问题已有1人参与

向各位大虾请教一个代数问题:如果f(x)与g(x)是互素的复系数多项式,是否存在多项式h(x)使得f^3(x)+g^3(x)=h^3(x)?谢谢!

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1楼 2014-10-28 07:12:44

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

3楼: Originally posted by wangyymm at 2014-10-28 21:24:19
大虾,能否证明 : 如果f(x)与g(x)是互素的复系数多项式,则不存在多项式h(x)使得f^3(x)+g^3(x)=h^3(x). 谢谢!

我们可以证明: 如果多项式f(x), g(x),h(x)满足 max(deg(f), deg(g))>0 , (f,g)=1, 那么一定不会有f^3+g^3=h^3.

证明:  用反证法.

(1) 如果 $f^3 +g^3=h^3$ , 那么deg(f),deg(g),deg(h)三个数至少有两个相等. 不妨设 $deg(f)=deg(g)\geq 1$ , 否则考虑 (-h)^3 +g^3=f^3.

(2) $h^3= (f+g)\cdot (f^2-fg+g^2)$ . 由于(f,g)=1, 因此 $(f+g, f^2-fg+g^2)=(f+g, -3fg)=1$ . 如果不可约一次因子p(x)|(f+g),  那么因为p^3|h而p不整除(f^2-fg+g^2), 所以p^3|(f+g).也就是说:
存在多项式p(x),q(x)使得: $P^3= f+g, q^3=f^2-fg+g^2.$

(3)这提醒我们用Euler 的降次法. 让 $c_1=\frac{3+\sqrt{3}i}{2}, c_2=\frac{3-\sqrt{3}i}{2},$
则 $q^3=(p^3-g)^2-(p^3-g)g+g^2=p^6+3g^2-3p^3g=(p^3-c_1g)(p^3-c_2g)$
因为 (p,g)=1, 所以 $(p^3-c_1g, p^3-c_2g)=1$ , 因此存在多项式r(x), s(x)使得
$r^3= p^3-c_1g, s^3=p^3-c_2g.$ 也就是说, $c_2r^3-c_1s^3=(c_2-c_1)p^3$ .
这时候, $max(deg(r),deg(s), deg(p)) \leq max(deg(p), \frac{deg(g)}{3}) \leq \frac{deg(g)}{3}.$
顺便指出,   $max(deg(r),deg(s), deg(p)) \geq 1$ (为什么?)

(4) 用这种无穷降次法, 最后一定达到这个唯一的情况:  a^3 +b^3+c^3=0, 其中 deg(a)=deg(b)=1, deg(c)=0.
然而, sskkyy虫友明确提出这种情况不存在, 所以矛盾.