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hj2006

金虫 (正式写手)

[求助] 求积分!!

求积分!!   
求积分!知道结果为a,求详细步骤!!!
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天道酬勤
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
hj2006: 金币+5, 有帮助, 谢谢参与! 2014-09-27 11:01:25
1. 取beta=0, 积分函数为: (2-4x/a)^2, 因此积分值为 4a/3, 你的答案是错的.

2. 如果把三角函数, 双曲函数都用指数函数表示, 那么展开后是一项项 e^(c*x)这样的函数, 只要不怕麻烦, 每一项都可积. 楼主只需要注意简化的时候不要犯错就好了. 不妨一试数学软件.
We_must_know. We_will_know.
2楼2014-09-27 04:28:39
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hj2006

金虫 (正式写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2014-09-27 04:28:39
1. 取beta=0, 积分函数为: (2-4x/a)^2, 因此积分值为 4a/3, 你的答案是错的.

2. 如果把三角函数, 双曲函数都用指数函数表示, 那么展开后是一项项 e^(c*x)这样的函数, 只要不怕麻烦, 每一项都可积. 楼主只需要注意 ...

beta不能为0,结果肯定为a,这是一本书给的结果,只是没有步骤,我用matlab算过,但始终都是一个大长式子而不能得到a的结果
天道酬勤
3楼2014-09-27 11:00:43
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hj2006

金虫 (正式写手)

beta不能为0,结果应该为a(一本书给的结果,只是没有步骤),用matlab算过,但结果总是一个大长式子,大家给出出主意,怎样求解?
天道酬勤
4楼2014-09-27 11:04:01
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
3楼: Originally posted by hj2006 at 2014-09-27 11:00:43
beta不能为0,结果肯定为a,这是一本书给的结果,只是没有步骤,我用matlab算过,但始终都是一个大长式子而不能得到a的结果...

尽信书,不如无书。
有图有真相
求积分!!-1
Emuch027.png

We_must_know. We_will_know.
5楼2014-09-27 11:27:04
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
4楼: Originally posted by hj2006 at 2014-09-27 11:04:01
beta不能为0,结果应该为a(一本书给的结果,只是没有步骤),用matlab算过,但结果总是一个大长式子,大家给出出主意,怎样求解?

如果z=a*b, 那么从Matlab得到的答案乘以b是否等于


如果一样的话,说明这个答案没法化简。 另外, 你可以让a=根号2, b=根号3,数值计算。 如果跟上面公式得到的答案一样, 那么100% 公式成立,否则很难想象对乱七八糟的两个无理数,会有巧合一说。
We_must_know. We_will_know.
6楼2014-09-27 13:27:54
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
hj2006: 金币+10, 有帮助 2014-09-27 19:08:09
为了后面的计算方便,先要做个准备:
1、 Integral{Cos(ξ*x)*e^(η*x)*dx , 0 , a}
=1/ξ* Integral{ e^(η*x)*d[Sin(ξ*x)] , 0 , a}
=e^(η*a)*Sin(ξ*a)/ ξ +η/ξ^2* Integral{ e^(η*x)*d[Cos(ξ*x)] , 0 , a}
    = e^(η*a)*Sin(ξ*a)/ ξ +η*[e^(η*a)*Cos(ξ*a)-1]/ ξ^2+(η/ξ)^2*Integral{Cos(ξ*x)*e^(η*x) , 0 , a}
移项整理后得到:
    Integral{Cos(ξ*x)*e^(η*x)*dx , 0 , a}={ξ* e^(η*a)*Sin(ξ*a) + η*e^(η*a)*Cos(ξ*a)- η}/[ξ^2+η^2]   (1)

2、 Integral{Sin(ξ*x)*e^(η*x) , 0 , a}
=-1/ξ* Integral{ e^(η*x)*d[Cos(ξ*x)] , 0 , a}
=[1-e^(η*a)*Cos(ξ*a)]/ ξ +η/ξ^2* Integral{ e^(η*x)*d[Sin(ξ*x)] , 0 , a}
    = [1-e^(η*a)*Cos(ξ*a)]/ ξ +η*[e^(η*a)*Sin(ξ*a)]/ ξ^2+(η/ξ)^2*Integral{Sin(ξ*x)*e^(η*x) , 0 , a}
移项整理后得到:
Integral{Sin(ξ*x)*e^(η*x)*dx ,0,a}={ξ-ξ* e^(η*a)*Cos(ξ*a) + η*e^(η*a)*Sin(ξ*a)}/[ξ^2+η^2]      (2)

现在正式开始解决此题。为书写简便,暂记δ=[Sin(β*a)+Sinh(β*a)]/[ Cos(β*a)-Cosh(β*a)]。原式的被积函数展开后得到:
[Cos(β*x)]^2+[Cosh(β*x)]^2+δ^2*[Sin(β*x)+Sinh(β*x)]^2+2* Cos(β*x)* Cosh(β*x)+
+2*δ* Cos(β*x)* [Sin(β*x)+Sinh(β*x)]+ 2*δ* Cosh(β*x)* [Sin(β*x)+Sinh(β*x)]
=[1+Cos(2*β*x]/2+[e^(2*β*x)+e^(-2*β*x)+2]/4+δ^2*{[1- Cos(2*β*x)]/2+[e^(2*β*x)+e^(-2*β*x)-2 ]/4+ Sin(β*x)*[e^(β*x)-e^(-β*x)]}+ Cos(β*x)* [e^(β*x)+e^(-β*x)]+ δ*Sin(2*β*x)+
  +δ*Cos(β*x)*[ e^(β*x)-e^(-β*x)]+δ*Sin(β*x)*[e^(β*x)+e^(-β*x)]+δ/2*[e^(2*β*x)-e^(2*β*x)]
=1+(1-δ^2)/2*Cos(2*β*x)+(1/4+δ/2+δ^2/4)*e^(2*β*x)+(1/4-δ/2+δ^2/4)* e^(-2*β*x)+
+(δ^2+δ)* Sin(β*x)*e^(β*x)+(-δ^2+δ)* Sin(β*x)*e^(-β*x)+(1+δ)* Cos(β*x)* e^(β*x)+
+(1-δ)* Cos(β*x)* e^(-β*x)+ δ*Sin(2*β*x)
因为上式中的积分为下列积分的线性组合,而它们分别可用分部积分法得到如下结果:
Integral{1*dx,0,a}=a
Integral{ Cos(2*β*x)*dx,0,a}=Sin(2*β*a)/(2*β)
Integral{ Sin(2*β*x)*dx,0,a}=[1-Cos(2*β*a)]/(2*β)
Integral{ e^(2*β*x)*dx,0,a}=[e^(2*β*a)-1]/(2*β)
Integral{ e^(-2*β*x)*dx,0,a}=[1-e^(-2*β*a)]/(2*β)
Integral{ Sin(β*x)*e^(β*x)*dx,0,a}=[1-e^(β*a)*Cos(β*a)+ e^(β*a)*Sin(β*a)]/(2*β)
Integral{ Sin(β*x)*e^(-β*x)*dx,0,a}=[1-e^(-β*a)*Cos(β*a)- e^(-β*a)*Sin(β*a)]/(2*β)
Integral{ Cos(β*x)* e^(β*x)*dx,0,a}=[ e^(β*a)*Cos(β*a)+ e^(β*a)*Sin(β*a)-1]/(2*β)
Integral{ Cos(β*x)* e^(-β*x)*dx,0,a}=[ e^(-β*a)*Sin(β*a)- e^(-β*a)*Cos(β*a)-1]/(2*β)

故原积分=a+(1-δ^2)/2* Sin(2*β*a)/(2*β) +(1/4+δ/2+δ^2/4)* [e^(2*β*a)-1]/(2*β)+
+(1/4-δ/2+δ^2/4)* [1-e^(-2*β*a)]/(2*β)
+(δ^2+δ)* [1-e^(β*a)*Cos(β*a)+ e^(β*a)*Sin(β*a)]/(2*β)
+(-δ^2+δ)* [1-e^(-β*a)*Cos(β*a)- e^(-β*a)*Sin(β*a)]/(2*β)
+(1+δ)* [ e^(β*a)*Cos(β*a)+ e^(β*a)*Sin(β*a)-1]/(2*β)
+(1-δ)* [ e^(-β*a)*Sin(β*a)- e^(-β*a)*Cos(β*a)-1]/(2*β)
+δ*[1-Cos(2*β*a)]/(2*β)
7楼2014-09-27 18:23:55
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hj2006

金虫 (正式写手)

非常感谢!
求积分!!-2
其实这是个两端自由的梁函数,结果应该为a
天道酬勤
8楼2014-09-27 19:07:23
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