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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 请教一个非线性方程非线性项转化为多项式的方法
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businiao412

金虫 (正式写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by guojiashun at 2014-08-13 16:23:32
可以，matlab有符号运算，或者用maple也可以。...

多谢，我再试试，今天没有成功。

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11楼2014-08-13 21:42:30
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businiao412

金虫 (正式写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by guojiashun at 2014-08-13 16:23:32
可以，matlab有符号运算，或者用maple也可以。...

syms Q
x=[1-Q,1-0.9*Q,1-0.8*Q,1-0.7*Q,1-0.6*Q,1-0.5*Q];
y=[Q^(3/2),(0.9*Q)^(3/2),(0.8*Q)^(3/2),(0.7*Q)^(3/2),(0.6*Q)^(3/2),(0.5*Q)^(3/2)];
P=polyfit(x,y,3)我用这样的表达式，但是一直出错，如下信息：
Error using ==> ones
Trailing string input must be a valid numeric class name.

Error in ==> polyfit at 63
V(:,n+1) = ones(length(x),1,class(x));
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12楼2014-08-13 22:45:37
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guojiashun

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
12楼: Originally posted by businiao412 at 2014-08-13 22:45:37
syms Q
x=;
y=;
P=polyfit(x,y,3)我用这样的表达式，但是一直出错，如下信息：
Error using ==> ones
Trailing string input must be a valid numeric class name.

Error in ==> polyfit at 63
V(: ...

那是因为matlab的ones函数中不支持符号运算，合法的数据类包括： 'double', 'single', 'int8', 'uint8', 'int16', 'uint16', 'int32', 'uint32', 'int64', or 'uint64'，不包括符号类：sym（详见关于ones函数的help文件）。matlab的符号运算功能还是比较弱，你可以试试用maple。

由于我没装maple，我直接用具体数值替你做了几组验证，证明我说的基本是正确的：
（1）令Q=1，则x=[0,0.1,0.2,......,0.9,1]，对应的y=-(1.-x).^(3/2)=[-1,-0.853814968245462,-0.715541752799933,....,0]，p=polyfit(x,y,3)=-0.264788988716828  -0.187032536397084   1.452896005112752  -0.998323698149733，根据论文知：
a3=-8/(33*Q^(3/2))=-0.242424242424242；
a2=-(72*Q-56)/(77*Q^(3/2))=-0.207792207792208；
a1=(24*Q^2+144*Q-56)/(77*Q^(3/2))=1.454545454545455；
a0=(8*Q^3-360*Q^2-1080*Q+280)/(1155*Q^(3/2))=-0.997402597402597；

（2）令Q=0.5，则x=[0.5,0.55,0.6,......,1]，对应的y=-(1.-x).^(3/2)=[-0.3535,-0.3018,-0.2529,......,-0.0111,0]，p=polyfit(x,y,3)=-0.748936358020765   0.858900587453328   0.730154298636324  -0.839145979819353，则
a3=-8/(33*Q^(3/2))=-0.685679302968773；
a2=-(72*Q-56)/(77*Q^(3/2))=0.734656396037972；
a1=(24*Q^2+144*Q-56)/(77*Q^(3/2))=0.808122035641769；
a0=(8*Q^3-360*Q^2-1080*Q+280)/(1155*Q^(3/2))=-0.854650274057507；

结论：可见在区间[1-Q,1]内取点进行拟合得到的多项式系数a3,a2,a1,a0的值与利用论文中a3,a2,a1,a0公式得到的数值是能够对上的。中间有些误差，主要原因一是取点的疏密对拟合精度有影响；二是论文中得到的表达式也是近似的。
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13楼2014-08-14 01:43:25
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guojiashun

铁杆木虫 (正式写手)
在实数范围内随便取Q的值，进行拟合验证，基本都能和论文中公式得到的系数值对上，根据归纳法可知论文中的推导是正确的。你自己也可以多试试几组。
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14楼2014-08-14 01:47:21
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guojiashun

铁杆木虫 (正式写手)
内容已删除
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15楼2014-08-14 01:55:19
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guojiashun

铁杆木虫 (正式写手)
说明论文中的公式还是很精准的。
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16楼2014-08-14 01:56:52
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guojiashun

铁杆木虫 (正式写手)
突然想起来，其实不用最小二乘法，区间内找四个点，比如[1-Q,1-3*Q/10,1-6*Q/10,1]，就得到一个四元一次方程组X*a=Y，a=inv(X)*Y，a是系数向量。不知可行否，明天试试。
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17楼2014-08-14 02:05:45
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businiao412

金虫 (正式写手)
引用回帖:
17楼: Originally posted by guojiashun at 2014-08-14 02:05:45
突然想起来，其实不用最小二乘法，区间内找四个点，比如，就得到一个四元一次方程组X*a=Y，a=inv(X)*Y，a是系数向量。不知可行否，明天试试。

您解答的太给力了，再次表示感谢，您用数据验证了文献的方法的正确性，希望能够用您说的解方程组的形式解出来，不过我心里也有同样的疑问，解出来的结果会不会跟去的数值点的大小跟疏密有关系？
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18楼2014-08-14 02:40:30
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guojiashun

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
18楼: Originally posted by businiao412 at 2014-08-14 02:40:30
您解答的太给力了，再次表示感谢，您用数据验证了文献的方法的正确性，希望能够用您说的解方程组的形式解出来，不过我心里也有同样的疑问，解出来的结果会不会跟去的数值点的大小跟疏密有关系？...

解方程组的方法应该和点取多少没关系，四个未知量，凑够四个方程就行。我试了一下：取x=[1-Q,1-6*Q/10,1-3*Q/10,1]，y=[-Q^(3/2),-(6*Q/10)^(3/2),-(3*Q/10)^(3/2),0]，
X=[x(1)^3,x(1)^2,x(1),1;
      x(2)^3,x(2)^2,x(2),1;
      x(3)^3,x(3)^2,x(3),1;
      x(4)^3,x(4)^2,x(4),1;]
a=inv(X)*y'
=25/7/Q^3*conj(Q^(3/2))-5/3/Q^3*3^(1/2)*5^(1/2)*conj(Q^(3/2))+10/21/Q^3*3^(1/2)*10^(1/2)*conj(Q^(3/2))
   15/14/Q^3*(-10+3*Q)*conj(Q^(3/2))-1/6/Q^3*(-30+13*Q)*3^(1/2)*5^(1/2)*conj(Q^(3/2))+2/21/Q^3*(-15+8*Q)*3^(1/2)*10^(1/2)*conj(Q^(3/2))
   3/14/Q^3*(50-30*Q+3*Q^2)*conj(Q^(3/2))-1/6/Q^3*(30-26*Q+3*Q^2)*3^(1/2)*5^(1/2)*conj(Q^(3/2))+2/21/Q^3*(15-16*Q+3*Q^2)*3^(1/2)*10^(1/2)*conj(Q^(3/2))
   -1/14/Q^3*(50-45*Q+9*Q^2)*conj(Q^(3/2))+1/6/Q^3*(10-13*Q+3*Q^2)*3^(1/2)*5^(1/2)*conj(Q^(3/2))-2/21/Q^3*(5-8*Q+3*Q^2)*3^(1/2)*10^(1/2)*conj(Q^(3/2))

根据论文知道Q必然大于0，所以conj(Q^(3/2))=Q^(3/2)，这样整理符号运算所得第一项：a3=(25/7-5*sqrt(15)/3+10*sqrt(30)/21)/Q^(3/2)=-0.2753/Q^(3/2)≈  -8/(33*Q^(3/2))，其它不再逐一整理。符号运算得到的a3表达式和论文中还是有误差，这应该是matlab矩阵求逆算法的误差造成的。四元一次方程组应该也不难解，如果手工解是不是应该完全精准？
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19楼2014-08-14 14:27:18
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guojiashun

铁杆木虫 (正式写手)
由此可见数值方法里面还是最小二乘法最准确
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20楼2014-08-14 14:28:41
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