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[×ÊÔ´] ¹Åµä´úÊý¼¸ºÎ¸ÅÂÛ(Topics in Classical Algebraic Geometry)

¹Åµä´úÊý¼¸ºÎ¸ÅÂÛ(Topics in Classical Algebraic Geometry)

Contents
1 Polarity 1
1.1 Polar hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 The polar pairing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 First polars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Second polars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 The Hessian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Parabolic points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6 The Steinerian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Dual hypersurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 The polar map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Dual varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Pl¡§ucker equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Conics 23
2.1 Polar triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Conjugate triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Poncelet related conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Plane cubics 37
3.1 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Weierstrass equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Hesse equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3 Hesse pencil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Polars of a plane cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 The Hessian of a cubic hypersurface . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 The Hessian of a plane cubic . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3 The dual cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
iii
iv CONTENTS
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Determinantal equations 49
4.1 Plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 The problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.2 Plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.4 Quadratic Cremona transformations . . . . . . . . . . . . 57
4.1.5 Moduli space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Determinantal equations for hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Cohen-Macauley sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.2 Determinants with linear entries . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.3 The case of curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.4 The case of surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Theta characteristics 73
5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.1 Symmetric determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.2 Quadratic forms over a field of characteristic 2 . . . . . . 75
5.1.3 Hyperelliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.4 2-torsion points on a hyperelliptic curve . . . . . . . . . . 79
5.1.5 Theta characteristics on a hyperelliptic curve . . . . . . . 80
5.1.6 Jacobian variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.7 Riemann¡¯s theta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.8 Theta functions with characteristics . . . . . . . . . . . . 84
5.1.9 Hyperelliptic curves again . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 Plane Quartics 91
6.1 Odd theta characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1.1 28 bitangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1.2 Steiner complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1.3 Aronhold sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Quadratic determinant equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.1 Coble¡¯s construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.2 Symmetric quadratic determinants . . . . . . . . . . . . . 102
6.3 Even theta characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3.1 Contact cubics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3.2 Cayley octads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
CONTENTS v
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7 Planar Cremona transformations 111
7.1 Homaloidal linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.1.1 Cremona transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.1.2 Exceptional configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.3 The bubble space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2 De Jonqui`eres transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2.1 Hyperelliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3 Elementary transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.3.1 Segre-Hirzebruch minimal ruled surfaces . . . . . . . . . 125
7.3.2 Elementary transformations . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.3 Birational automorphisms of P1
 P1 . . . . . . . . . . . 131
7.3.4 De Jonqui`eres transformations again . . . . . . . . . . . . 134
7.4 Characteristic matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.4.1 Composition of characteristic matrices . . . . . . . . . . . 140
7.4.2 Weyl groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.4.3 Noether¡¯s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.5 Cremona group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.5.1 Noether¡¯s factorization theorem . . . . . . . . . . . . . . 145
7.5.2 Noether-Fano inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.5.3 Noether¡¯s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8 Del Pezzo surfaces 155
8.1 First properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.1.1 Varieties of minimal degree . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.1.2 A blow-up model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.1.3 (􀀀2)-curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.2 Anti-canonical models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2.1 Surfaces of degree d in Pd . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.3 Lines on Del Pezzo surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.3.1 Cremona isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.3.2 Lines on Del Pezzo surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
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[¿¼ÑÐ] ²ÄÁÏ340·Öµ÷¼Á +5 ÏÄÒ¹Íí·ç_long 2026-04-02 7/350 2026-04-02 15:40 by ²»³Ôô~µÄ؈
[¿¼ÑÐ] Çóµ÷¼ÁÇóµ÷¼Á +6 121. 2026-04-02 6/300 2026-04-02 15:26 by haironglove
[¿¼ÑÐ] ²ÄÁϵ÷¼Á +6 Ò»ÑùYWY 2026-04-02 6/300 2026-04-02 15:23 by BruceLiu320
[¿¼ÑÐ] Ò»Ö¾Ô¸Äϲý´óѧ324Çóµ÷¼Á +12 hanamiko 2026-04-01 12/600 2026-04-02 14:51 by 5896
[¿¼ÑÐ] 309Çóµ÷¼Á +8 ´ô¹½²»ÊÇ´÷·ò 2026-04-02 8/400 2026-04-02 14:30 by oooqiao
[¿¼ÑÐ] »¯Ñ§308·Öµ÷¼Á +14 ÄãºÃÃ÷ÌìÄãºÃ 2026-03-30 15/750 2026-04-02 13:39 by ÎûÎûЦ22
[¿¼ÑÐ] Ò»Ö¾Ô¸ÏÃÃÅ´óѧ²ÄÁϹ¤³Ìר˶354ÕÒµ÷¼Á£¡£¡£¡ +7 ±´ß±µ±µ 2026-03-30 7/350 2026-04-02 12:19 by 1753564080
[¿¼ÑÐ] 292Çóµ÷¼Á +14 ÊÇåû×ÓÒ²ÊÇÑÐ×Ó 2026-03-30 14/700 2026-04-02 10:17 by sanrepian
[¿¼ÑÐ] Ò»Ö¾Ô¸9³õÊÔ366 ±¾Ë«·ÇÇóµ÷¼Á +4 ÔËÆøÀ´µÃÈôÓÐËÆÎ 2026-04-02 4/200 2026-04-02 09:56 by guanxin1001
[¿¼ÑÐ] 266Çóµ÷¼Á +4 ѧԱ97LZgn 2026-04-02 4/200 2026-04-02 09:52 by yulian1987
[¿¼ÑÐ] 279Çóµ÷¼Á +6 ѧ¶øË¼ÙâÖª 2026-04-01 6/300 2026-04-02 09:16 by vgtyfty
[¿¼ÑÐ] Ò»Ö¾Ô¸ÉϺ£º£Ñó´óѧ083200ʳƷѧ˶£¬Çóµ÷¼Á£¬½ÓÊÜÆäËûרҵ +5 whatÕÅ 2026-04-01 5/250 2026-04-01 22:35 by guanxin1001
[¿¼ÑÐ] 279Çóµ÷¼Á +7 Īxiao 2026-04-01 7/350 2026-04-01 22:05 by ¿Í¶ûÃÀµÂ
[¿¼ÑÐ] Çóµ÷¼ÁÍÆ¼ö ²ÄÁÏ 304 +21 ºÉ°üµ°hyj 2026-03-26 21/1050 2026-04-01 21:09 by lijunpoly
[¿¼ÑÐ] 349Çóµ÷¼Á +6 ³ÔµÄ²»ÉÙ 2026-04-01 6/300 2026-04-01 17:55 by JYD2011
[¿¼ÑÐ] 318Ò»Ö¾Ô¸¼ªÁÖ´óѧÉúÎïÓëÒ½Ò© Çóµ÷¼Á +6 óÆÐÐÖÂÔ¶. 2026-03-28 6/300 2026-04-01 09:28 by oooqiao
[¿¼ÑÐ] Çóµ÷¼Á +9 akdhjs 2026-03-31 10/500 2026-03-31 17:14 by zhyzzh
[¿¼²©] ²ÄÁÏרҵÉ격 +5 ¶ÅÓêæÃdyt 2026-03-29 5/250 2026-03-31 11:19 by oooqiao
[¿¼ÑÐ] 322Çóµ÷¼Á +10 ËÎÃ÷ÐÀ 2026-03-27 10/500 2026-03-30 18:47 by 544594351
[¿¼ÑÐ] 356Çóµ÷¼Á +3 gysy?s?a 2026-03-28 3/150 2026-03-29 00:33 by 544594351
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