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古典代数几何概论(Topics in Classical Algebraic Geometry)
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古典代数几何概论(Topics in Classical Algebraic Geometry) Contents 1 Polarity 1 1.1 Polar hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 The polar pairing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 First polars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Second polars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 The Hessian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Parabolic points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.6 The Steinerian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Dual hypersurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 The polar map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Dual varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Pl¨ucker equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Conics 23 2.1 Polar triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Conjugate triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Poncelet related conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Plane cubics 37 3.1 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1 Weierstrass equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2 Hesse equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.3 Hesse pencil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Polars of a plane cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1 The Hessian of a cubic hypersurface . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2 The Hessian of a plane cubic . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.3 The dual cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 iii iv CONTENTS Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 Determinantal equations 49 4.1 Plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.1 The problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.2 Plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1.4 Quadratic Cremona transformations . . . . . . . . . . . . 57 4.1.5 Moduli space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Determinantal equations for hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . 63 4.2.1 Cohen-Macauley sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2.2 Determinants with linear entries . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.3 The case of curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2.4 The case of surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5 Theta characteristics 73 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.1 Symmetric determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.2 Quadratic forms over a field of characteristic 2 . . . . . . 75 5.1.3 Hyperelliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.1.4 2-torsion points on a hyperelliptic curve . . . . . . . . . . 79 5.1.5 Theta characteristics on a hyperelliptic curve . . . . . . . 80 5.1.6 Jacobian variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.1.7 Riemann’s theta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.1.8 Theta functions with characteristics . . . . . . . . . . . . 84 5.1.9 Hyperelliptic curves again . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6 Plane Quartics 91 6.1 Odd theta characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.1.1 28 bitangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.1.2 Steiner complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.1.3 Aronhold sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2 Quadratic determinant equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2.1 Coble’s construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2.2 Symmetric quadratic determinants . . . . . . . . . . . . . 102 6.3 Even theta characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.3.1 Contact cubics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.3.2 Cayley octads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 CONTENTS v Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7 Planar Cremona transformations 111 7.1 Homaloidal linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.1.1 Cremona transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.1.2 Exceptional configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.1.3 The bubble space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.2 De Jonqui`eres transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.2.1 Hyperelliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.3 Elementary transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.3.1 Segre-Hirzebruch minimal ruled surfaces . . . . . . . . . 125 7.3.2 Elementary transformations . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.3.3 Birational automorphisms of P1 P1 . . . . . . . . . . . 131 7.3.4 De Jonqui`eres transformations again . . . . . . . . . . . . 134 7.4 Characteristic matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.4.1 Composition of characteristic matrices . . . . . . . . . . . 140 7.4.2 Weyl groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.4.3 Noether’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.5 Cremona group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.5.1 Noether’s factorization theorem . . . . . . . . . . . . . . 145 7.5.2 Noether-Fano inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.5.3 Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 8 Del Pezzo surfaces 155 8.1 First properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.1.1 Varieties of minimal degree . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.1.2 A blow-up model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.1.3 (􀀀2)-curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2 Anti-canonical models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.2.1 Surfaces of degree d in Pd . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.3 Lines on Del Pezzo surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.3.1 Cremona isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.3.2 Lines on Del Pezzo surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 |
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