[交流] 师兄师姐们，帮小弟看看这个 Laplace变换后的二阶常微分方程怎么解啊已有3人参与

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1楼2014-07-17 11:45:43

孙小辉

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引用回帖:

19楼: Originally posted by 月只蓝 at 2014-07-21 16:54:58
Y(0)=1;Y(1)=2的条件的话，就是边值问题，哪有（或者很难）有解析解。
Y(0)=,Y'(0)= 的条件是初值问题，可以试着找解析解。...

师兄啊，三个困惑（相互没有联系）：
1.既然解析解里只有两个未知量C1，C2，按理说不是随便代入两个条件就可以确定吗？
2.再就是边值问题和初值问题有啥区别啊，但就像师兄所说的，小弟我确实遇到了Y(0)=1;Y(1)=2的条件不能解，而Y(0)=,Y'(0)= 的条件能解的情况。
不是有三类边界条件吗，Y(0)=1;Y(1)=2为第一类边界条件而Y'(0)=为第二类边界条件，
好像都是边界（边值）条件啊，咋又分出的初值和边值问题啊
3.第三个问题是这样的。我遇到的模型条件是
边界条件：第一类边界条件
            Y(x=0) =45
            Y(x=正无穷大)=30
            第二类边界条件
            Y'(x=正无穷大)  =0
初始条件：  Y(s>0) =30          [s是偏微分方程中的时间变量t转换来的]
如果照师兄你说的，这里面利用哪些条件能得到确定的解析解。
         非常希望留下师兄您的QQ或邮箱，方便小弟向您请教。

21楼2014-07-21 19:42:23

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吕春莹

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fegg7502: 金币+1, 鼓励交流 2014-07-21 08:21:23

首先，这不是二阶常微分方程，“常”表示y''，y'，y的系数都是常数，形式为ay''+by'+cy=0,这类问题可以用特征方程求解。你的问题是二阶非线性微分方程。
  我想了下也不知道怎么解，用matlab算:
>> syms a s y x
Y=dsolve('a*D2y-Dy/x-s*y=0','x')

Y =

C3*x^((a + 1)/(2*a))*besselk(-(a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2)) + (C2*x^((a + 1)/(2*a))*besseli(-(a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2)))/(-1)^((a + 1)/(2*a))

>> pretty(Y)

                                             a + 1
                                             -----       /          1/2 \
                                             2 a       | a + 1  s x |
   a + 1                               C2 x    besseli| - -----, ------ |
   -----       /          1/2 \                   | 2 a    1/2  |
   2 a       | a + 1 s x |                   \          a    /
  C3 x    besselk| - -----, - ------ | + ------------------------------------
               | 2 a    1/2  |                   a + 1
               \          a    /                   -----
                                                         2 a
                                                      (-1)
>> 解中由用到bessel函数

3楼2014-07-20 11:01:11

吕春莹

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引用回帖:

3楼: Originally posted by 吕春莹 at 2014-07-20 11:01:11
首先，这不是二阶常微分方程，“常”表示y''，y'，y的系数都是常数，形式为ay''+by'+cy=0,这类问题可以用特征方程求解。你的问题是二阶非线性微分方程。
我想了下也不知道怎么解，用matlab算:
>> syms a ...

但是，反过来 ans=a*diff(Y,x,2)-diff(Y,x)/x-s*Y

ans =

a*(C3*x^((a + 1)/(2*a))*((s^(1/2)*((besselk(1 - (a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2))*((a + 1)/(2*a) - 1))/x + (s^(1/2)*besselk(-(a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2)))/a^(1/2)))/a^(1/2) + (besselk(-(a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*a*x^2) - ((a + 1)*((s^(1/2)*besselk(1 - (a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2)))/a^(1/2) - (besselk(-(a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*a*x)))/(2*a*x)) + (C2*x^((a + 1)/(2*a))*((s^(1/2)*((besseli(1 - (a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2))*((a + 1)/(2*a) - 1))/x + (s^(1/2)*besseli(-(a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2)))/a^(1/2)))/a^(1/2) + (besseli(-(a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*a*x^2) - ((a + 1)*((s^(1/2)*besseli(1 - (a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2)))/a^(1/2) - (besseli(-(a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*a*x)))/(2*a*x)))/(-1)^((a + 1)/(2*a)) + (C3*x^((a + 1)/(2*a) - 1)*(a + 1)*((s^(1/2)*besselk(1 - (a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2)))/a^(1/2) - (besselk(-(a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*a*x)))/a + (C3*x^((a + 1)/(2*a) - 2)*((a + 1)/(2*a) - 1)*besselk(-(a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*a) + (C2*x^((a + 1)/(2*a) - 1)*(a + 1)*((s^(1/2)*besseli(1 - (a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2)))/a^(1/2) - (besseli(-(a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*a*x)))/((-1)^((a + 1)/(2*a))*a) + (C2*x^((a + 1)/(2*a) - 2)*((a + 1)/(2*a) - 1)*besseli(-(a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*(-1)^((a + 1)/(2*a))*a)) - (C3*x^((a + 1)/(2*a))*((s^(1/2)*besselk(1 - (a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2)))/a^(1/2) - (besselk(-(a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*a*x)) + (C2*x^((a + 1)/(2*a))*((s^(1/2)*besseli(1 - (a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2)))/a^(1/2) - (besseli(-(a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*a*x)))/(-1)^((a + 1)/(2*a)) + (C3*x^((a + 1)/(2*a) - 1)*besselk(-(a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*a) + (C2*x^((a + 1)/(2*a) - 1)*besseli(-(a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2))*(a + 1))/(2*(-1)^((a + 1)/(2*a))*a))/x - s*(C3*x^((a + 1)/(2*a))*besselk(-(a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2)) + (C2*x^((a + 1)/(2*a))*besseli(-(a + 1)/(2*a), (s^(1/2)*x)/a^(1/2)))/(-1)^((a + 1)/(2*a)))

这回我不明白了

4楼2014-07-20 11:09:10

孙小辉

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引用回帖:

4楼: Originally posted by 吕春莹 at 2014-07-20 11:09:10
但是，反过来 ans=a*diff(Y,x,2)-diff(Y,x)/x-s*Y

ans =

a*(C3*x^((a + 1)/(2*a))*((s^(1/2)*((besselk(1 - (a + 1)/(2*a), -(s^(1/2)*x)/a^(1/2))*((a + 1)/(2*a) - 1))/x + (s^(1/2)*besselk(-(a + 1)/( ...

您好，能不能发个截图上去，后面这个是它的解析解吗？

5楼2014-07-20 15:14:34