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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[交流] 等幂和的一个性质已有2人参与

设p是奇素数，试证：

$\sum\limits_{n=1}^{p-1}n^{2p-1}\equiv\frac{p(p+1)}{2}(modp^2)$

[ Last edited by feixiaolin on 2014-7-30 at 19:11 ]

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼2014-07-01 03:15:18

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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专业: 理论和计算化学

★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
feixiaolin: 金币+3, 数学EPI+1 2014-07-30 12:20:06

因为 $(p-a)^{2p-1}+a^{2p-1} (mod p^2)=(2p-1)\cdot p \cdot a^{2(p-1}} (mod p^2)= -p (mod p^2)$ ,
所以 $\sum_{n=1}^{p-1} n^{2p-1} =-p\cdot \frac{p-1}{2} (mod p^2) =\frac{p(p+1)}{2} (mod p^2)$
其中借助了Newton 二项式展开(略去p^2及更高次项)和关于素数的Wilson定理 $a^{p-1}=1 (mod p)$