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haibinlucky

木虫 (小有名气)

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[求助] 积分问题已有2人参与

第一个积分公式是很难求解的（n=0.5/1.5），为了求得积分值，作者转化成了第二个公式。
请问：1 作者是怎么转化的； 2 通过第二个公式怎么求得第一个公式的积分值。
谢谢。

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1楼 2014-06-19 10:34:52

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
haibinlucky: 金币+10, ★有帮助 2014-06-20 09:17:44

(1)问是显然的，(2)问不会。
还有，应该考虑的函数是 $G(h)=exp(h^2/2) F_n(h)\cdot \sqrt{2\pi}$ .

注意到 $exp(\frac{h^2}{2})F_n(h)*\sqrt{2\pi}=e^{\frac{h^2}{2}}\cdot \int_{0}^{\infty}x^n e^{-\frac{1}{2}(x+h)^2}dx = \int_{0}^{\infty}x^n e^{-\frac{x^2}{2}-xh}dx$ , 因此
$G'(h)= \int_{0}^{\infty} -x^{n+1} e^{-\frac{x^2}{2}-xh}dx, G"(h)=\int_{0}^{\infty} x^{n+2} e^{-\frac{x^2}{2}-xh}dx$

但是根据分部积分， $\int_{0}^{\infty}(x+h)x^{n+1} e^{-\frac{x^2}{2}-xh}dx =-e^{-\frac{x^2}{2}-xh}x^{n+1}|_0^{\infty}+\int_{0}^{\infty}(n+1)x^{n} e^{-\frac{x^2}{2}-xh}dx$
这就是第二个公式。