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liyuetin

铁虫 (初入文坛)

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[求助] 求数论大神帮助~~一个关于原根的题目已有1人参与

证明7是形如2^（4n）+1 (n>0)的素数的原根~~求大神指导啊

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1楼 2014-06-06 21:49:24

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
liyuetin: 金币+5, ★★★很有帮助, 第一步没明白，不过这个题做出来了，还是很感谢你的！ 2014-06-09 01:34:27

(1)  因为 (a+1)| (a^3+1), 所以 2^(4n) +1 是素数推出如果 n=a (mod 3), 那么 a=1 or 2.
容易看出,  因为 2^4=2 (mod 7) 和 2^3=1 (mod 7), 所以2^(4n)+1 = 2^n +1 = 2^a +1 = 3 or 5 (mod 7)

(2) 由于 1^2=1, 2^2=4, 3^2=2(mod 7), 所以 2^a+1=3 or 5 均不是 7 的二次剩余.

(3) 由Gauss二次互反率,
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E ... 2%E5%8F%8D%E5%BE%8B
$(\frac{7}{2^{4n}+1})=(-1)^{\frac{(7-1)(2^{4n}+1-1)}{4}}\cdot(\frac{2^{4n}+1}{7})=1\cdot (-1)=-1$

(4) 如果7不是p=2^{4n}+1的原根, 那么由于 mod p 乘法群是循环群并且阶为p-1=2^{4n}, 那么一定有元素b使得 b^2=7  (mod p).
事实上, 设x是循环群的生成元, 那么 x^k, k奇数全都是生成元(即原根), 而x^k, k偶数全不是生成元.
b^2=7 (mod p) 与 $(\frac{7}{p})=-1$ 矛盾.