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求数论大神帮助~~一个关于原根的题目 已有1人参与
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| 证明7是形如2^（4n）+1 (n>0)的素数的原根~~求大神指导啊 |
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hank612
至尊木虫 (著名写手)
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【答案】应助回帖
★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
liyuetin: 金币+5, ★★★很有帮助, 第一步没明白，不过这个题做出来了，还是很感谢你的！ 2014-06-09 01:34:27
感谢参与，应助指数 +1
liyuetin: 金币+5, ★★★很有帮助, 第一步没明白，不过这个题做出来了，还是很感谢你的！ 2014-06-09 01:34:27
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(1) 因为 (a+1)| (a^3+1), 所以 2^(4n) +1 是素数推出如果 n=a (mod 3), 那么 a=1 or 2. 容易看出, 因为 2^4=2 (mod 7) 和 2^3=1 (mod 7), 所以2^(4n)+1 = 2^n +1 = 2^a +1 = 3 or 5 (mod 7) (2) 由于 1^2=1, 2^2=4, 3^2=2(mod 7), 所以 2^a+1=3 or 5 均不是 7 的二次剩余. (3) 由Gauss二次互反率, http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E ... 2%E5%8F%8D%E5%BE%8B (4) 如果7不是p=2^{4n}+1的原根, 那么 由于 mod p 乘法群是循环群并且阶为p-1=2^{4n}, 那么一定有元素b使得 b^2=7 (mod p). 事实上, 设x是循环群的生成元, 那么 x^k, k奇数全都是生成元(即原根), 而x^k, k偶数全不是生成元. b^2=7 (mod p) 与 |
2楼2014-06-07 01:18:21
3楼2019-01-08 18:24:26