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已知函数f(x)=(nx-n+2)e^x(其中n为自然数，e为自然数的对数底数）
（1）求f(x)在【0，1】上的最大值
（2）若函数g(x)=n^2x^2-13nx-30(n>1,n为自然数），当x>0时，若2f(x)的导数>g(x)恒成立，求最大整数n

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发扬钉子精神

1楼 2014-05-06 00:00:58

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

已知函数f(x)=(nx-n+2)e^x(其中n为自然数，e为自然数的对数底数）
（1）求f(x)在【0，1】上的最大值
（2）若函数g(x)=n^2x^2-13nx-30(n>1,n为自然数），当x>0时，若2f(x)的导数>g(x)恒成立，求最大整数n
解：（1）

$f(x)=(nx-n+2)e^x$

$f'(x)=(nx+2)e^x>0$

$(2-n)=f(0)\leq f(x)\leq f(1)=2e$

$f_{min}=2-n,\quad\mbox{and}\quad f_{max}=2e$

（2）由（1）

$f'(x)=(nx+2)e^x$

所以就有当 $x>0$ 时，不等式

$2(nx+2)e^x>n^2x^2-13nx-30$

恒成立。
于是令

$h(x)=2(nx+2)e^x-n^2x^2+13nx+30$

$h'(x)=(2nx+4+2n)e^x-2n^2x+13n$

$h''(x)=(2nx+4+4n)e^x-2n^2$

由于n>1，所以当 $n_{max}=2$ 时，

$h''(0)=4+4n-2n^2=4>0$

$h''(x)\geq h''(0)>0$

$h'(x)$ 单调递增，

$h'(x)\geq h'(0)=4+2n+13n=4+15n>0$

$h(x)$ 单调递增， $h(x)\geq h(0)=4+30=34>0$
综上所述，就得到最大整数n=2.

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2楼2014-05-06 03:13:54

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引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-05-06 03:13:54
已知函数f(x)=(nx-n+2)e^x(其中n为自然数，e为自然数的对数底数）
（1）求f(x)在【0，1】上的最大值
（2）若函数g(x)=n^2x^2-13nx-30(n>1,n为自然数），当x>0时，若2f(x)的导数>g(x)恒成立，求最大整数n ...

由于n>1，所以当时n(max)=2，怎样想到的？

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发扬钉子精神

3楼2014-05-06 23:14:09

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引用回帖:

3楼: Originally posted by webrother at 2014-05-06 23:14:09
由于n>1，所以当时n(max)=2，怎样想到的？...

要使得 $h''(x)>0$ 呗。

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4楼2014-05-07 02:47:31

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