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jeato

木虫 (小有名气)

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[求助] 证明1^k+2^k+...+n^k的次数为k+1 已有1人参与

证明1^k+2^k+...+n^k的次数为k+1

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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1楼 2014-05-01 00:04:34

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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★ ★ ★
feixiaolin: 金币+3, 五一节 2014-05-01 14:20:30

这也能证明? 四百年前的伯努利求和公式里面一眼看到最高次是k+1, 还需要怎么证明.

就象要求证明2 * 3=6. 除了说显然, 就要求助于Peano公理了, 晕倒.

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We_must_know. We_will_know.

2楼2014-05-01 00:23:43

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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

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数学归纳法？

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3楼2014-05-01 07:30:51

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+3, 五一节 2014-05-01 20:53:49
jeato: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2014-05-03 09:09:47

用符号 $S_k(n)$ 记

$S_k(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^k$

则有：

$(j+1)^{k+1}-j^{j+1}=(k+1)j^k+\sum\limits_{i=0}^{k-1}\left(\begin{array}{c}k+1\\i\end{array}\right)j^i$

从而令 $j=1,2,\cdots,n$ 就得到:

$(n+1)^{k+1}-1=(k+1)S_k(n)+\sum\limits_{i=0}^{k-1}\left(\begin{array}{c}k+1\\i\end{array}\right)S_i(n)$

这就是计算等幂和得递推计算公式。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2014-05-01 16:57:54

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Edstrayer

版主 (著名写手)

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【答案】应助回帖

$S_0(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^0=n$

$S_1(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^1=\frac{n(n+1)}{2}$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

5楼2014-05-01 17:01:11

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