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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 一个比较特别的行列式
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[交流] 一个比较特别的行列式 已有3人参与

设a，b，c，d都是整数，且ad=bc，如果行列式：


试证：a=b=c=d=0.
注：条件ad=bc是否可以取消？若可以取消请给出证明，否则请举出反例。

[ Last edited by feixiaolin on 2014-4-25 at 13:56 ]
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2014-04-25 10:47:25
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
10楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-26 11:10:10
哦，计算错误，软件不会用，用手工按你的思路验证计算了行列式，得到：det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}
=(15a^2-5 ...

殊图同归，好样的。

你的分解方法，用上了题设条件 ad=bc. 我的分解方式没用上这个条件， 还以为你是在故意迷惑我们的呢。 没想到是分解方式的分歧
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We_must_know. We_will_know.
11楼2014-04-26 11:39:56
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
可视为分块矩阵
|A     B|
|B   5A|
行列式=|A|*|5A-B*A^(-1)*B|=0
条件是 |5A-B*A^(-1)*B|=0 而 |A|<>0
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2楼2014-04-25 15:51:09
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-25 15:51:09
可视为分块矩阵
|A     B|
|B   5A|
行列式=|A|*|5A-B*A^(-1)*B|=0
条件是 |5A-B*A^(-1)*B|=0 而 |A|<>0

这里A不一定可逆呢，……不能这样运算的，……
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2014-04-25 18:18:57
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
3楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-25 18:18:57
这里A不一定可逆呢，……不能这样运算的，……...

只要a=b=c=d，便可推出delt()=0;
为了求条件：
1. 假定A可逆;  比较繁琐，未推求。
2. 假定A不可逆;
   如果3a^2-b^2=0; 3c^2-d^2=0;  delt()=0;
     ad=bc 只是一个特例，ad+bc=0 亦可。
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4楼2014-04-25 20:11:08
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