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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 判断直线是否为异面直线
北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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匿名

用户注销 (正式写手)
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1楼 2014-04-12 21:22:22
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

下面求两条异面直线的公垂线及其距离：
设L_1上的任意一点A(x_1,y_1,z_1)，则(x_1-1)/2=(y_1-2)/3=(z_1+3)/2=k_1，即
x_1=2k_1+1
y_1=3k_1+2
z_1=2k_1-3
设L_2上的任意一点B(x_2,y_2,z_2)，则(x_2-1)/1=(y_2+1)/2=(z_2)/2=k_2，即
x_2=k_2+1
y_2=2k_2-1
z_2=2k_2
于是点A，B之间的距离d满足：
d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2=17(k_1+3(1-4k_2)/17)^2+9(k_2+4)^2/17+9
所以d^2\geq 9，从而d\geq 3
等号成立当且仅当k_1=-3,k_2=-4
此时A(-5,-7,-9),B(-3,-9,-8)两点的连线就是公垂线，异面直线的距离是3.
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-04-13 02:48:29
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vect

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
直线上各取一点得到的向量与两方向向量的混合积不为零即可判别两者异面

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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2楼2014-04-12 23:44:58
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
L_1的方向向量为（2，3，2），L_2的方向向量为（1，2，2），显然这两个向量的对应分量不成比例，所以这两条直线不平行；
又联立L_1和L_2的直线方程x-1)/2=(y-2)/3=(z+3)/2和(x-1)/1=(y+1)/2=z/2，解得这个方程组没有实数解，所以这两条直线不相交。
排除上面两种情况就只有这两条直线是异面直线这一种情况。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2014-04-13 02:11:14
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zz3476: 金币+5 2014-04-13 09:24:05
设L1和L2的公垂线为L3，则其方向矢量为：
a={2,3,3}×{1,2,2}={2,-2,1}
设公垂线L3与L1的交点为A(x1,y1,z1)，与L2的交点为B{x2,y2,z2}，A、B两点之间的距离为d，若d=0,则两直线共面；否则不共面。
则有：
(x1-1)/2=(y1-2)/3=(z1+3)/2                                 (1)
(x2-1)/1=(y2+1)/2=z2/2                                      (2)
(x2-x1)/2=(y2-y1)/(-2)=(z2-z1)/1                          (3)
d=Sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2}               (4)   
本题的求解就归结为：要么(1)、(2)、(3)的联立求解；要么在(1)、(2)的约束下求(4)的极小值的问题。
最后求解得到：
x1=-5;y1=-7;z1=-9;x2=-3;y2=-9;z2=-8
d=3
即L1和L2不共面，其公垂线长度为3。
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5楼2014-04-13 09:19:18
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