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Springer--Feynman Integral Calculus 2006
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Contents 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Feynman Integrals: Basic Definitions and Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 Feynman Rules and Feynman Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Divergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Alpha Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Properties of Dimensionally Regularized Feynman Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Evaluating by Alpha and Feynman Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1 Simple One- and Two-Loop Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Auxiliary Tricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Recursively One-Loop Feynman Integrals . . . . . . . . . . . . 34 3.2.2 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.3 Dealing with Numerators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 One-Loop Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Feynman Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5 Two-Loop Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4 Evaluating by MB Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1 One-Loop Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2 Evaluating Multiple MB Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3 More One-Loop Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.4 Two-Loop Massless Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.5 Two-Loop Massive Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6 Three-Loop Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.7 More Loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.8 MB Representation versus Expansion by Regions . . . . . . . . . . . 105 4.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5 IBP and Reduction to Master Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.1 One-Loop Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2 Two-Loop Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.3 Reduction of On-Shell Massless Double Boxes . . . . . . . . . . . . . . 128 5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6 Reduction to Master Integrals by Baikov’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.1 Basic Parametric Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2 Constructing Coefficient Functions. Simple Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3 General Recipes. Complicated Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.4 Two-Loop Feynman Integrals for the Heavy Quark Static Potential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7 Evaluation by Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1 One-Loop Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.2 Two-Loop Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 A Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.1 Table of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.2 Some Useful Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 B Some Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 C Summation Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 C.1 Some Number Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 C.2 Power Series of Levels 3 and 4 in Terms of Polylogarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 C.3 Inverse Binomial Power Series up to Level 4 . . . . . . . . . . . . . . . 206 C.4 Power Series of Levels 5 and 6 in Terms of HPL . . . . . . . . . . . . 208 D Table of MB Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 D.1 MB Integrals with Four Gamma Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 D.2 MB Integrals with Six Gamma Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 D.3 The Gauss Hypergeometric Function and MB Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 E Analysis of Convergence and Sector Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 E.1 Analysis of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 E.2 Practical Sector Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 F A Brief Review of Some Other Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 F.1 Dispersion Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 F.2 Gegenbauer Polynomial x-Space Technique . . . . . . . . . . . . . . . . 240 F.3 Gluing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 F.4 Star-Triangle Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 F.5 IR Rearrangement and R∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 F.6 Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 F.7 Experimental Mathematics and PSLQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 G Applying Gr¨obner Bases to Solve IBP Relations . . . . . . . . . . 251 G.1 Gr¨obner Bases for Ideals of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 G.2 Constructing Gr¨obner-Type Bases for IBP Relations . . . . . . . . 255 G.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 G.4 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Download link：http://www.isload.com.cn/store/3q6a5se6764hd [ Last edited by zhq025 on 2008-1-16 at 10:39 ] |
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