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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 微分方程求解（通解中含hypergeom函数）
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

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引用回帖:
10楼: Originally posted by yourzsh at 2013-12-10 11:14:54
F'(s)的表达式里含有F(s),这样可能难以求出F'(s)的反变换？...

用8楼图片中的式子，对s求导。
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yourzsh
11楼2013-12-10 11:17:00
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yourzsh

禁虫 (小有名气)
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12楼2013-12-10 11:37:24
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

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引用回帖:
12楼: Originally posted by yourzsh at 2013-12-10 11:37:24
谢谢版主的耐心解答，你的思路非常活跃。不过，求导后仍然含有积分符号，可能这个问题解析的方法难以奏效了...

是的，再求一次导数，变成了F(s)的二次微分方程。
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13楼2013-12-10 14:01:22
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yourzsh

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14楼2013-12-10 14:36:21
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

若m、n均为正数的话，用版主的拉氏变换法很方便，否则，反正只能得到级数解，那就直接麦克劳林级数表达解，然后方程两边用比较系数法获得各个系数，这个过程也不复杂，
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yourzsh
15楼2013-12-11 17:50:09
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
yourzsh: 金币+10, ★★★很有帮助, 你的方法很有启发！由于最开始设置金币不多，所以只能奖励你这么多了，再送两朵红花吧。谢谢。 2013-12-12 10:43:17
采用级数解法，可得方程的级数解，求解过程如下：
  原方程为：x*f "(x)+(m*x+n)*f '(x)+m*f(x)=0
  令 f(x)=SUM{at*x^t , t, 0, ∞｝，
     其中，at为x^t的系数，t为a的下标，且t=0~∞ 。
  代入原方程，经整理并两边比较系数，可得：
   at=(-1)^t*m^t/{n*(n+1)*(n+2)*...*(n+t-1)}   
     由于f(x)=SUM{at*x^t , t , 0 , ∞｝
     =SUM{(-1)^t*m^t/{n*(n+1)*(n+2)*...*(n+t-1)}*x^t , t, 0, ∞｝
     即f(x)为级数at*x^t(t=0~∞ )的和。由于该级数属于交错级数，且x∈[0，1]。根据交错级数收敛的莱布尼兹定理可得：
    (1) 因为当t趋向无穷时，lim at*x^t=0
    (2) 若再有a(t+1)<at，则级数收敛，也就是：m/(n+t)<1时级数收敛。
        整理后得：m<n+t
      很明显，由于t不小于零，故当t>m-n时上式自然满足.
       综合（1）和（2），因此交错级数at*x^t收敛且其和收敛于f(x)，故求得的级数之和SUM{at*x^t , t , 0 , ∞｝确为f(x)的解。

解题完毕。
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16楼2013-12-11 21:23:53
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yourzsh

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17楼2013-12-12 10:45:35
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放牧的人91

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
17楼: Originally posted by yourzsh at 2013-12-12 10:45:35
由于m和n都为参数，所以加大了问题的难度，导致版主的方法不太可信。这个问题可能只能得到类似级数解这样的解，谢谢你的帮助，真心感谢～...

我遇到的问题跟你的一样，还是没弄明白，能说的清楚一点吗？怎样变成有级数的解呢？
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18楼2014-07-02 12:26:10
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