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【答案】应助回帖
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yourzsh: 金币+10, ★★★很有帮助, 你的方法很有启发！由于最开始设置金币不多，所以只能奖励你这么多了，再送两朵红花吧。谢谢。 2013-12-12 10:43:17
采用级数解法，可得方程的级数解，求解过程如下：
原方程为：x*f "(x)+(m*x+n)*f '(x)+m*f(x)=0
令 f(x)=SUM{at*x^t , t, 0, ∞｝，
其中，at为x^t的系数，t为a的下标，且t=0~∞ 。
代入原方程，经整理并两边比较系数，可得：
at=(-1)^t*m^t/{n*(n+1)*(n+2)*...*(n+t-1)}
由于f(x)=SUM{at*x^t , t , 0 , ∞｝
=SUM{(-1)^t*m^t/{n*(n+1)*(n+2)*...*(n+t-1)}*x^t , t, 0, ∞｝
即f(x)为级数at*x^t(t=0~∞ )的和。由于该级数属于交错级数，且x∈[0，1]。根据交错级数收敛的莱布尼兹定理可得：
(1) 因为当t趋向无穷时，lim at*x^t=0
(2) 若再有a(t+1)<at，则级数收敛，也就是：m/(n+t)<1时级数收敛。
整理后得：m<n+t
很明显，由于t不小于零，故当t>m-n时上式自然满足.
综合（1）和（2），因此交错级数at*x^t收敛且其和收敛于f(x)，故求得的级数之和SUM{at*x^t , t , 0 , ∞｝确为f(x)的解。
解题完毕。 |
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