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sciencejoy

新虫 (著名写手)

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[交流] 刘维尔定理已有1人参与

系统哈密顿量 $H(q_i,p_i)$ 是 $2N$ 个变量的 $q_i$ 和 $p_i$ （ $i=1,\ldot,N$ ）函数。哈密顿量可以显含时间t，孤立系统的哈密顿量不显含时间t。哈密顿方程

$\frac{\partial H}{\partial p_i}=\dot{q}_i, \frac{\partial H}{\partial q_i}=-\dot{p}_i$

N组坐标 $(q_i,p_i)$ 构成相空间，相空间中一条轨迹由初始条件 $q_i(0)$ 、 $p_i(0)$ 决定。轨迹不会自相交，如果自相交，以交点为初始条件，确定的轨迹就不唯一了。

考虑两个时间，t和t+dt，有

$q'=q(t+{\rm d} t)=q+\dot{q}{\rm d} t = q+\frac{\partial H}{\partial p}t$
$p'=p(t+{\rm d} t)=p+\dot{p}{\rm d} t = p-\frac{\partial H}{\partial q}t$

雅科比

$\frac{\partial (q',p')}{\partial (q,p)} = \begin{vmatrix} 1+\frac{\partial^2 H}{\partial p \partial q}{\rm d} t & \frac{\partial^2 H}{\partial p^2}{\rm d} t \\ -\frac{\partial^2 H}{\partial q^2}{\rm d} t & 1-\frac{\partial^2 H}{\partial p \partial q}{\rm d} t \end{vmatrix}=1+O({\rm d} t)^3$

即变换 $(q(0),p(0)) \rightarrow (q(t),p(t))$ 的雅科比
$\frac{{\rm d} J}{{\rm d} t}=0$
因此， $J(t)=1$ ，这就是刘维尔定理：
${\rm d}q{\rm d}p={\rm d}q'{\rm d}p'$

[ Last edited by sciencejoy on 2013-8-10 at 21:23 ]

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