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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 求概率
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donau

银虫 (小有名气)

[求助] 求概率

设n匹马参加比赛。第i匹马得第一名的概率为pi。求第i匹马得第二名的概率如何估计。得第三名的概率呢。第i匹马得前三名的概率呢。谢指教。
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1楼 2013-06-27 21:50:23
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ruihualiang

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
提供一个思路，供批判

第i匹马得第二名的概率

设
A_i 表示事件{第i匹马得第一名}，则P(A_i) = p_i
B_k 表示事件{第k匹马得第二名}
P(i>k)表示事件{第i匹马比第k匹马快}的概率

估计 P(i>k) = p_i / (p_i + p_k)

P(B_k)
= \sigma P(A_i 交 B_k)
= \sigma [P(i>k) P(k>1) P(k>2) ... P(k>n)]

\sigma是对所有的i求和.
最后一步中记得把P(k>i)和P(k>k)拿掉.
所有的A_i 是互斥事件，故所有p_i 的和为\sigma (p_i) = 1

结果略
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4楼2013-06-28 16:01:56
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wyydxs

新虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
第一名只有一匹马得到，所以概率相等，所以第一名的概率为1/n，而得到第二名的意思就是没得第一名，那么除了第i匹马不能的第一名外其它的都有可能，所以可能得到第一名的马匹数为n-1，那么我们把得第一名的除掉就还有n-1匹马可能得第二名，所以得第二名的概率为（n-1）/n *1/（n-1）=1/n，同理得出第三名的概率为1/n。
得前三名的概率就是把这三个加起来的3/n
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2楼2013-06-27 22:01:34
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donau

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wyydxs at 2013-06-27 22:01:34
第一名只有一匹马得到，所以概率相等，所以第一名的概率为1/n，而得到第二名的意思就是没得第一名，那么除了第i匹马不能的第一名外其它的都有可能，所以可能得到第一名的马匹数为n-1，那么我们把得第一名的除掉就还 ...

不对。可能我没说清楚。第i匹马得第一名的概率是pi.这些pi是不相等的，或者说有的马跑得快有的跑得慢，即不是1/n。不然问题就简单了。
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3楼2013-06-27 22:12:02
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treeroot89

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个问题，我认为无解，或者信息还不够。

考虑一个简单的问题，假设n匹无差异性，也就是说
事件P_i^j: 编号i的马跑到第j名的这件事，他的概率应该是相同的p_i^j=1/n.
For any i horse, \Sigma_{j=1}^{n} p_i^j=1 and p_i^j=1/n.
so is for any j-th horse after the race. \Sigma_{i=1}^{n} p_i^j=1.

而现在已知编号i的马得到第1名的概率，p_i^1.求p_i^2.
这些信息根本没法求出。
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5楼2013-06-28 23:35:43
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