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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 基础物理 » 不同阶第一类贝塞尔函数的正交性
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heyyouguyz

新虫 (初入文坛)

[求助] 不同阶第一类贝塞尔函数的正交性

小弟在推公式。。

关于同阶的第一类贝塞尔函数的正交性，我知道有以下结论：
不同阶第一类贝塞尔函数的正交性

那不同阶的，即下式所示，是否有类似结论？
不同阶第一类贝塞尔函数的正交性-1

我翻遍了各种教材，都没有答案。求教各位！
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1楼 2013-06-21 01:21:48
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
不同类型的Beseel函数应该没有正交性。不信的话，可以数值积分验证一下。
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3楼2013-06-21 02:30:01
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heyyouguyz

新虫 (初入文坛)
图片不清楚，补充一下：

第一个式子为两个同阶的第一类贝塞尔函数，都是alpha阶

第二个为不同阶，alpha与beta
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2楼2013-06-21 01:25:31
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

对不起，上贴没看清楚原题。 不同阶的第一类beseel函数在无穷区间也有正交性，但weight 是1/x，
int_0^infinity  Jm(x) *Jn(x) /x dx = 2/pi *sin((n-m)*pi)/(n^2-m^2)

http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function
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4楼2013-06-21 02:48:56
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heyyouguyz

新虫 (初入文坛)
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4楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-21 02:48:56
对不起，上贴没看清楚原题。 不同阶的第一类beseel函数在无穷区间也有正交性，但weight 是1/x，
int_0^infinity  Jm(x) *Jn(x) /x dx = 2/pi *sin((n-m)*pi)/(n^2-m^2)

http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_fu ...

嗯这个结论我也看到了，但是到处都找不到把x从分母放到分子去的，估计这个积分不收敛。。
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5楼2013-06-21 13:36:08
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by heyyouguyz at 2013-06-21 13:36:08
嗯这个结论我也看到了，但是到处都找不到把x从分母放到分子去的，估计这个积分不收敛。。...

在 n和m有一个大于0的情况下，积分显然是收敛的。解析表达式都有了。
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6楼2013-06-21 14:01:03
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heyyouguyz

新虫 (初入文坛)
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6楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-21 14:01:03
在 n和m有一个大于0的情况下，积分显然是收敛的。解析表达式都有了。...

解析表达式？你说的是x在分母的情况吧？
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7楼2013-06-21 14:14:53
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by heyyouguyz at 2013-06-21 14:14:53
解析表达式？你说的是x在分母的情况吧？...

看来你根本就没有仔细看4楼的回帖啊， 费这么半天劲，白敲了！
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8楼2013-06-21 14:19:29
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heyyouguyz

新虫 (初入文坛)
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8楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-21 14:19:29
看来你根本就没有仔细看4楼的回帖啊， 费这么半天劲，白敲了！...

我看了啊。。我知道你说的权重是1/x的情况。。

可我说的是我图2那个积分收不收敛的问题啊。。

int_0^infinity Jm(x)Jn(x)/x^t 这个积分在t>-1的情况下是有解析结果的，但是t=-1的情况，也就是t在分子的情况我没找到。所以我猜测这种情况是不收敛的，当然这个结论并不严格。
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9楼2013-06-21 14:32:14
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

引用回帖:
9楼: Originally posted by heyyouguyz at 2013-06-21 14:32:14
我看了啊。。我知道你说的权重是1/x的情况。。

可我说的是我图2那个积分收不收敛的问题啊。。

int_0^infinity Jm(x)Jn(x)/x^t 这个积分在t>-1的情况下是有解析结果的，但是t=-1的情况，也就是t在分子的情 ...

当然也是收敛的，因为 Jn(x) ≈ sqrt(2/(pi*x)) cos (x-pi/4 -n*pi/2) for x -> infinity.
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10楼2013-06-21 15:39:20
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