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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 高阶差分与高阶导数的关系
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zhijunl06

银虫 (初入文坛)

[交流] 高阶差分与高阶导数的关系 已有1人参与

菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》中关于高阶差分和高阶导数的关系叙述如下：
书中写到高阶导数和高阶差分之间的关系为上图中(7)式，并且用数学归纳法证明了(7)式，证明中关键的一步就是公式(8)，就是对一阶差分公式中的两项分别做n-1阶差分。
但是，我自己推导得到(8)式的方括号中两个n-1阶导数的自变量值应该是无关的，而不是正好相差deltax(详细的推导过程在下面)，请高手回答一下为什么会得到(8)式那样的结果。
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1楼 2013-04-25 22:25:53
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weft

木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
很简单, 你需要对也就是整体使用n-1阶差分公式, 而不是分成两项, 后者纯粹自找麻烦. 同样的技巧也出现在证明Cauchy微分中值定理的时候.
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2楼2013-04-26 04:29:17
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zhijunl06

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by weft at 2013-04-26 04:29:17
很简单, 你需要对{\Delta f(x_0)}也就是{f(x_0+\Delta x) -f(x_0)}整体使用n-1阶差分公式, 而不是分成两项, 后者纯粹自找麻烦. 同样的技巧也出现在证明Cauchy微分中值定理的时候.

非常感谢你的提示，我钻了牛角尖了
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3楼2013-04-26 08:33:24
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