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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 对任意的n(n大于等于4)边形，一定至少有一条对角线完全包含在它的内部？
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hh0044

金虫 (小有名气)

[求助] 对任意的n(n大于等于4)边形，一定至少有一条对角线完全包含在它的内部？

如题，对任意的n(n大于等于4)边形，一定至少有一条对角线完全包含在它的内部？似乎是对的，但该如何证明？请教各位大侠了。
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1楼 2013-04-08 19:14:32
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李家小欣

银虫 (初入文坛)
n=4,与n=5不予证明，当n大3于5时n个顶点3确定n*(n-1)/2条线段，其中n条为边，n*(n-3)/2条对角线，当n>5时对角线条数大于边条数，如果对角线都在n边形外部，这与n边形只有最多n条边在最外部的常识相悖，所以必有一条对角线在其内部
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2楼2013-04-08 20:20:34
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hh0044

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 李家小欣 at 2013-04-08 20:20:34
n=4,与n=5不予证明，当n大3于5时n个顶点3确定n*(n-1)/2条线段，其中n条为边，n*(n-3)/2条对角线，当n>5时对角线条数大于边条数，如果对角线都在n边形外部，这与n边形只有最多n条边在最外部的常识相悖，所以必有一 ...

不对，有的对角线它可能有一部分在内部，一部分在外部。
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3楼2013-04-08 21:05:19
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yongcailiu

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
对角线是如何定义的，如果只是连接不相邻的顶点的线段都叫做对角线的话，那么这句话应该是对的。可以从多边形的三角剖分来间接证明。详情请参见清华大学出版社出版的邓俊辉翻译的《计算几何-算法与应用（第2版）》第三章的定理3.1的证明（p52）
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4楼2013-04-10 07:41:59
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丿花落丶小兔

铁杆木虫 (知名作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个我有点儿记不清除了 找时间给您算一算 您可以在百度上查找下下哦 也可以去书店查一查 祝您早日成功！~
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初学者请多关照~
5楼2013-04-10 08:14:44
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血色狼漫

金虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
关键是凸多边形还是凹多边形

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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6楼2013-04-10 08:47:05
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hh0044

金虫 (小有名气)
凸多边形是非常简单的，关键就是凹多边形不大好处理。多谢楼上各位。
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7楼2013-04-10 14:51:48
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by hh0044 at 2013-04-10 14:51:48
凸多边形是非常简单的，关键就是凹多边形不大好处理。多谢楼上各位。

n边形内角和为(n-2)Pi，所以至少有一个角度<180, 设为角<BAC.

现在连接B和C。 要么它全在多边形内， 要么和多边形在BC内部相交。如果是后一情况，固定B， 取D点沿着CA滑向A。总有最后一个点D'， 使得BD'与多边形最后一次在BD'内部有交点。那么，此时BD' 有一段完全包含在多边行内部的多边行的对角线。
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We_must_know. We_will_know.
8楼2013-08-19 09:33:37
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