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hh0044

金虫 (小有名气)

[求助] 对任意的n(n大于等于4)边形,一定至少有一条对角线完全包含在它的内部?

如题,对任意的n(n大于等于4)边形,一定至少有一条对角线完全包含在它的内部?似乎是对的,但该如何证明?请教各位大侠了。
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by hh0044 at 2013-04-10 14:51:48
凸多边形是非常简单的,关键就是凹多边形不大好处理。多谢楼上各位。

n边形内角和为(n-2)Pi,所以至少有一个角度<180, 设为角<BAC.

现在连接B和C。 要么它全在多边形内, 要么和多边形在BC内部相交。如果是后一情况,固定B, 取D点沿着CA滑向A。总有最后一个点D', 使得BD'与多边形最后一次在BD'内部有交点。那么,此时BD' 有一段完全包含在多边行内部的多边行的对角线。
We_must_know. We_will_know.
8楼2013-08-19 09:33:37
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李家小欣

银虫 (初入文坛)

n=4,与n=5不予证明,当n大3于5时n个顶点3确定n*(n-1)/2条线段,其中n条为边,n*(n-3)/2条对角线,当n>5时对角线条数大于边条数,如果对角线都在n边形外部,这与n边形只有最多n条边在最外部的常识相悖,所以必有一条对角线在其内部
2楼2013-04-08 20:20:34
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hh0044

金虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by 李家小欣 at 2013-04-08 20:20:34
n=4,与n=5不予证明,当n大3于5时n个顶点3确定n*(n-1)/2条线段,其中n条为边,n*(n-3)/2条对角线,当n>5时对角线条数大于边条数,如果对角线都在n边形外部,这与n边形只有最多n条边在最外部的常识相悖,所以必有一 ...

不对,有的对角线它可能有一部分在内部,一部分在外部。
3楼2013-04-08 21:05:19
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yongcailiu

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
对角线是如何定义的,如果只是连接不相邻的顶点的线段都叫做对角线的话,那么这句话应该是对的。可以从多边形的三角剖分来间接证明。详情请参见清华大学出版社出版的邓俊辉翻译的《计算几何-算法与应用(第2版)》第三章的定理3.1的证明(p52)
4楼2013-04-10 07:41:59
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