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rxu88

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
分离变量能否直接求解析解？
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走自己的路,狗年吉祥如意！
11楼2013-04-10 08:49:10
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土木小和尚

木虫 (正式写手)
引用回帖:
11楼: Originally posted by rxu88 at 2013-04-10 08:49:10
分离变量能否直接求解析解？

不能
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佛说：三千繁华，弹指刹那，百年过后，不过一捧黄沙。
12楼2013-11-30 19:07:14
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

使用分离变量发求解，最后得到：
u={(A*t+B)/(D-A/Cb*z)}^(1/5)
由于t趋向无穷 u=0，故A=0
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13楼2013-11-30 23:59:08
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
11楼: Originally posted by rxu88 at 2013-04-10 08:49:10
分离变量能否直接求解析解？

不能使用分离变量法的困难在于分离变量后，有关z的一元函数在积分时遇到困难，不能被表达为显函数，而且切比雪夫已经证明了此类积分从理论上不可积（参见樊映川 高等数学 上册 pp372~373）。
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14楼2013-12-01 17:55:27
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

定解问题：
Cb*P^2u/Pz^2=u^5*Pu/Pt                                       (1)
    t=0， 0≤z≤H  u=u0                                         (2)
0＜t＜∞, z=0    u=0                                          (3)
0＜t＜∞, z=H   Pu/Pz=0                                       (4)
t=∞, 0≤z≤H    u=0                                          (5)

求解过程：
使用分离变量发求解，令u(z,t)=X(z)*T(t),代入原方程得到：
Cb*T*d^2X/dz^2=X^5*T^5*X*dT/dt
Cb*X^(-6)*d^2X/dz^2=T^4*dT/dt                                  (6)
由于上式左边是z的函数，右边是t的函数，两者衡等意味着双方都等于某一常数A。
故          Cb*X^(-6)*d^2X/dz^2= A                         （7）
  和          T^4*dT/dt = A                                  （8）
由（8）   T=(5*A*t+B)^(1/5)                                    (9)
由（7），令Y=dX/dz
    则 d^2X/dz^2=dY/dz=dy/dX*dX/dz=Y*dy/dX                   (10)
（10）代入（7）得到：
Cb *X^(-6)*Y*dY/dX= A
故 Y^2=2*A/(7*Cb)*X^7 + D
即dX/dz=±sqrt[2*A/(7*Cb)*X^7 + D]
Integral{dX/{ sqrt[2*A/(7*Cb)*X^7 + D]}} = ±z + F

以上各个式子中的A、B、D、F均为积分常数。
由于t趋向无穷 u=0，故A=0 故 T=B^(1/5)=G
故X=D*z+F
以上各个式子中的A、B、D、F、G均为积分常数。
故u(z,t)=G*(D*z+F)
由0＜t＜∞, z=0    u=0 和0＜t＜∞, z=H  Pu/Pz=0，得：
u(z,t)≡0

这个定解问题的描述有问题吧？怎么只有零解？
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15楼2013-12-01 19:37:16
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