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匿名

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tangise

至尊木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
yxh821011: 金币+5, 有帮助 2013-01-03 15:53:18
3: 设A,B是距离空间X中不相交的闭集,证明存在X上的连续函数f(x),使得:当x∈A时,f(x)=0;当x∈B时,f(x)=1。
解:令 d(x,A), d(x,B)分别表示 x 到 A 和到 B 的距离。
     取 f(x)=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B)), 显然 f(x) 满足要求。

4:证明存在闭区间[0,1]上的连续函数x(t),使得x(t)=sinx(t)/2-a(t),其中a(t)是给定的[0,1]上的连续函数。
解:令 T(x)(t)=sinx(t)/2-a(t),可验证 T 为压缩映射,所以T 有不动点。
3楼2013-01-03 09:39:28
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tangise

至尊木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
yxh821011: 金币+5 2013-01-03 15:53:25
2:设X是紧距离空间,T是X上到自身的映射且满足条件:对任意x,y∈X,当x≠y时,d(Tx,Ty)
证:任取x_0, 令 x_1=T(x_0), x_2=T(x_1), x_3=T(x_2), ......,
可验证{x_n} 是有界序列,故{x_n}有收敛子列,x_n_k ——>x*,
x*即为T得不动点,唯一性显然。
4楼2013-01-03 09:50:21
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
1. (1) 取空间X=[-1,1]\{0}, 定义T:X --> X, x --> x/2.
5楼2013-01-03 11:15:14
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匿名

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7楼2013-01-03 16:57:34
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