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fyl7铁杆木虫 (正式写手)
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关于量子力学中角动量算符的一个疑问已有3人参与
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在通常的量子力学教科书里，角动量算符通常可以表示为坐标x跟动量算符的叉乘，而动量算符可用对坐标的偏微分来表示。 从另外一个角度看，能量、动量和角动量等物理量与时空的各种变换紧密相连。角动量与空间转动有关，而角动量算符也可来源于空间（或坐标系）的无限小转动。下面，我就据此来给出一个疑问。 我们都知道，空间转动保持两个矢量的标积不变，用量子力学的语言可以表示为转动保持 平面波转动不变性的一个直接的结果就是角动量算符作用其上必须为零，可是通常的角动量算符却给出坐标x与动量p的叉乘，而不是零。这该如何解释呢？实际上，只要在原先的角动量算符中加入相应的动量部分即可，即L=L_x+L_p，L_p的结构与L_x相似，将坐标换作动量p即可。这样，L作用在平面波上，给出两个值相同符号却相反的角动量，即零。加上动量部分L_p，是因为动量也是矢量，在转动下也变化。总的角动量L依然满足原先的对易关系，因为L_x跟L_p彼此独立。 现在问题出现了。由L的各分量不对易，我们应该有不确定关系，其中不等式右侧有<[L_i,L_j]>一项。这里，我们可以取态为平面波，此项就可写成相应的波函数表示。可是，由上面我们知道L的任何分量作用在平面波上都是零，因此不确定关系的不等号右侧为零，这就违背了不确定关系！ 这是怎么回事呢？ |
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2楼2012-12-30 15:29:56
3楼2012-12-30 15:41:05
fyl7
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这个对 |
5楼2012-12-30 17:02:04
fyl7
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其实，对于平面波exp(ipx),在坐标系转动下，有两种解释，如果把它表示成 可以看出，我是混淆了这两种解释。混淆的原因在于，第一种解释其实可以推广到场或一般的波函数φ，即 对于第一种解释，补救的方法可以找到，那就利用场的概念，其中|p>=a^{\dag}|0>，平移算符为T=exp(iaP)，其中P=\int dp p a^{\dag}a，这样|Tp>可定义为T|p>=exp(iap)|p>，而 实际上，用经典的概念可以说明一些情况。对于平面波exp(ipx)，坐标系的转动不改变标记px，因此平面波在转动下保持不变。可是，坐标系的平移，却使得坐标x平移，而动量p不变，因此平面波在平移下不是不变的。 |
6楼2012-12-31 11:02:52
fyl7
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7楼2012-12-31 11:24:19
fyl7
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之前的推导有些错误，下面我将准确的推导过程列下来，目的是满足以下两式， 可以看出，我的错误在于将|Tp>中的Tp误认为是经典的作用Tp=p，尽管对于转动操作， 实际上，上面的推导可以不用产生、湮灭算符的形式，之所以利用，目的是为了强调|x>=φ^{\dag}(x)|0>，这对于相对论情形也成立。 [ Last edited by fyl7 on 2012-12-31 at 14:50 ] |
8楼2012-12-31 14:48:21
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"(转动下 动量算符也是要变的 exp(ipx)是转动不变 但是不是转动后的新动量算符的本征值不变的本征态 除非转动相应的幺正算符和动量算符对易)" 这句话 有点拗口 也不恰当 修正一下 采用被动观点（坐标系不变 态变）exp(ipx)是转动不变 因为是 同样不能理解成转动下p.x不变 所以平面波(动量本征态)在转动下不变 |
9楼2012-12-31 16:46:12
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