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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 积分！！！
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李征111

金虫 (小有名气)

[求助] 积分！！！

请虫友们帮帮忙！
问:在区间【1，＋∞】上，根号下x分之一的积分是发散的，而三次根号下x的四次方分之一的积分却是收敛的。图像都是无限接近x轴的，为什么结果不一样？先谢谢啦！！！

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为中华之崛起而读书！
1楼 2012-12-27 22:46:00
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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼主提到的两个积分都是广义积分，广义积分可理解为常义积分的极限。先把上限由无穷改为有限量a，计算在区间[1,a]上的定积分，之后再让a趋于无穷，看是否有极限，如果有，则称积分收敛，反之，称积分发散。
楼主提到的第一个积分在[1,a]上积分值为lna,当a趋于无穷时，lna也趋于无穷，故积分发散。
第二个积分在[1,a]上积分得3×（1-a^{-1/3}），当a趋于无穷时有极限3，故积分收敛，其值为3.
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李征111
鲜花因生之绚烂而凋谢，珊瑚因死之静默而永恒。
3楼2012-12-27 23:32:13
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李征111

金虫 (小有名气)
1/√x

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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为中华之崛起而读书！
2楼2012-12-27 22:47:16
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李征111

金虫 (小有名气)
送鲜花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by archdevil at 2012-12-27 23:32:13
楼主提到的两个积分都是广义积分，广义积分可理解为常义积分的极限。先把上限由无穷改为有限量a，计算在区间上的定积分，之后再让a趋于无穷，看是否有极限，如果有，则称积分收敛，反之，称积分发散。
楼主提到的第 ...

谢谢哈！理论上懂，就是如果看图像的话，两者都是无限接近x轴的，但积分不同。这两个积分的本质区别是什么？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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为中华之崛起而读书！
4楼2012-12-27 23:46:14
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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
李征111: 金币+2, ★★★★★最佳答案, 非常感谢，懂啦！ 2012-12-28 08:00:55
引用回帖:
4楼: Originally posted by 李征111 at 2012-12-27 23:46:14
谢谢哈！理论上懂，就是如果看图像的话，两者都是无限接近x轴的，但积分不同。这两个积分的本质区别是什么？
...

这个可以和级数类比。正项级数表示无穷多个正数相加，但即使是无穷多个正数相加也不一定会趋于无穷大，问题的关键就在于级数一般项趋于0的速度。
比如sum{1/n}发散，但sum{1/n^2}收敛，两者的区别在于1/n比1/n^2趋于0的速度要慢的多。
回到那两个积分，与级数类似，被积函数就类似于一般项，如果被积函数趋于0的速度快，则积分收敛，反之则发散。1/x趋于0的速度显然要比1/x^{4/3}慢得多，因此前者收敛，后者发散。
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鲜花因生之绚烂而凋谢，珊瑚因死之静默而永恒。
5楼2012-12-28 04:35:30
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