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秋雨飞叶
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- 虫号: 286267
- 注册: 2006-10-15
- 性别: GG
- 专业: 几何学
【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
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由于A的特征多项式等于极小多项式，从而A的特征多项式没有重根，否则极小多项式的次数小于n. 我们可以假设 A 是对角矩阵。 假如不存在这样的\alpha. 那么对任意的\alpha 存在不全为0的常数 x_1, x_2... 使得 (x_1I+x_2A+...)\alpha=0. 等价的对任意的(y_1, ...y_n) (y_1, ...y_n)V (x_1, ...x_n)^T=0 有非0解， 这里V为Vandermonde 矩阵 v_{ij}= \lambda_i^{j-1} \lambda_i为特征值。^T 为转置。我们可以取 (y_1, ...y_n)使得 (y_1, ...y_n)^T(y_1, ...y_n)的行列式不为零。这样由于V的行列式也不为零，那么 (x_1, ...x_n)^T＝0. 与假设矛盾， 可能还有其它的更好的正法，再想想。 |
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