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无畏坚持

银虫 (初入文坛)

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注册: 2010-08-12
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专业: 控制论中的数学方法

[求助] hermite矩阵、正定矩阵判定

假设n阶Hermite矩阵A是可逆的，若对任意n阶正定矩阵B,AB的迹tr（AB）均大于0，证明：A是正定矩阵

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1楼 2012-10-24 20:37:56

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liqx

木虫 (正式写手)

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专业: 理论和计算化学

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+3, 3Q 2012-10-30 19:14:37

试着证一下，思路如下：
1. 假定该可逆Hermitian矩阵对角化得到的对角阵为A'只需证明A'对角元均为正值即可。
2. 取B为任意正定对角阵，对角元为Bi。
3. 由题设，Tr(AB)=Sum_i {A_i*B_i}>0;因为B为任意正定对角阵，故A_i均大于零（如取所有B_j=0, j=!i, B_i>0, 则必有A_i>0）。
证毕。

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2楼2012-10-25 10:27:06

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liqx

木虫 (正式写手)

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更正一下，证明过程中步骤3中的A均应为A'.

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3楼2012-10-25 10:28:04

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