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无畏坚持

银虫 (初入文坛)

[求助] hermite矩阵、正定矩阵判定

假设n阶Hermite矩阵A是可逆的,若对任意n阶正定矩阵B,AB的迹tr(AB)均大于0,证明:A是正定矩阵
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liqx

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
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小雨萌萌: 金币+3, 3Q 2012-10-30 19:14:37
试着证一下,思路如下:
1. 假定该可逆Hermitian矩阵对角化得到的对角阵为A'只需证明A'对角元均为正值即可。
2. 取B为任意正定对角阵,对角元为Bi。
3. 由题设,Tr(AB)=Sum_i {A_i*B_i}>0;因为B为任意正定对角阵,故A_i均大于零(如取所有B_j=0, j=!i, B_i>0, 则必有A_i>0)。
证毕。
2楼2012-10-25 10:27:06
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liqx

木虫 (正式写手)

更正一下,证明过程中步骤3中的A均应为A'.
3楼2012-10-25 10:28:04
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