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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 关于方阵自乘秩不变的证明
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xmccxpydjr

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
8楼: Originally posted by 硫酸亚铜 at 2012-09-22 10:38:02
这个结论肯定也是不对的噻。n取1，不就又回到了2楼的反例了吗？
...

额，抱歉没说清楚，A 是n阶方阵

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11楼2012-09-22 10:45:22
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xmccxpydjr

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
9楼: Originally posted by 硫酸亚铜 at 2012-09-22 10:39:30
你是证转置还是什么意思呢？
...

见我下面的回帖～

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12楼2012-09-22 10:47:52
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匿名

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xmccxpydjr
13楼2012-09-22 11:13:47
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xmccxpydjr

新虫 (初入文坛)
送鲜花一朵
引用回帖:
13楼: Originally posted by 硫酸亚铜 at 2012-09-22 11:13:47
你是数几啊？我数一，怎么660题没看见你说的那道题啊？
...

数三那，呵呵

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14楼2012-09-22 12:15:30
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匿名

用户注销 (文坛精英)
★ ★ ★
xmccxpydjr: 金币+3, ★★★很有帮助 2012-09-23 11:55:35
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15楼2012-09-22 12:32:15
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sdcyj72

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, 3Q 2012-09-22 22:34:41
xmccxpydjr: 金币+2, ★★★很有帮助 2012-09-23 11:55:10
用公式r(ABC)>=r(AB)+r(BC)-r(B)去证明
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16楼2012-09-22 19:53:04
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jfili

金虫 (正式写手)
你是看不懂文献中的证明吗？
证明1中，A,A^2,A^3,...,A^{n+1}，这n+1个矩阵的秩从大到小，且为整数，并且只能是0,1,2,...,n中的数。
如果这n+1个矩阵的秩都是不相等的，则只可能是r(A)=n，r(A^{n+1})=0，这显然是不可能的。所以必定有两个是相等的。不妨设r(A^{m})=r(A^{m+1})，且m<=n。则只需要证明r(A^{m+1})=r(A^{m+2})。
因为A^mX=0可知有A^{m+1}X=0，又因为两秩相等，
所以A^{m}X=0与A^{m+1}X=0的解完全相同（****）。
又因为A^{m+1}X=0的解一定是A^{m+2}X=0的解，
所以要证明A^{m+1}与A^{m+2}的秩相同，只需要说明A^{m+2}X=0的解也满足A^{m+1}X=0。实际上，0=A^{m+2}X=A^{m+1}AX，由****知AX也是A^mX=0的解，即A^mAX=0，所以证得结论。
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17楼2012-09-23 20:06:36
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