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xmccxpydjr

新虫 (初入文坛)

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[求助] 关于方阵自乘秩不变的证明

假设A是n阶方阵，秩为r，那么A^2的秩也是r，同理，依次类推，A的自乘的秩不变。如何证明呢？我看了一些文献，有用r(A)>=r(A^2)>=r(A^3)>=......r(A^n+1)>=0这个式子，n+1个不等式，秩最大为n，且为整数，则必有一个等号成立。如果这个等号在最后一步成立，即r(A^n+1)=0易推出矛盾，故等号必在别处成立。
还有一种思路，即必有可逆矩阵P使得PA的前n行线性无关，而后n-r行全部为0；同理，有可逆矩阵Q使得AQ的前n列线性无关，而后n-r列全部为0.但是，这样处理以后形式上简化了，但好像仍然无法证明r(A^2)=r(A).其他有些文献没有看太懂，反正人家是证明出来了。请问有没有简单易懂的证明方法呢？

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1楼2012-09-21 12:36:03

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jfili

金虫 (正式写手)

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管辖: 数学

你是看不懂文献中的证明吗？
证明1中，A,A^2,A^3,...,A^{n+1}，这n+1个矩阵的秩从大到小，且为整数，并且只能是0,1,2,...,n中的数。
如果这n+1个矩阵的秩都是不相等的，则只可能是r(A)=n，r(A^{n+1})=0，这显然是不可能的。所以必定有两个是相等的。不妨设r(A^{m})=r(A^{m+1})，且m<=n。则只需要证明r(A^{m+1})=r(A^{m+2})。
因为A^mX=0可知有A^{m+1}X=0，又因为两秩相等，
所以A^{m}X=0与A^{m+1}X=0的解完全相同（****）。
又因为A^{m+1}X=0的解一定是A^{m+2}X=0的解，
所以要证明A^{m+1}与A^{m+2}的秩相同，只需要说明A^{m+2}X=0的解也满足A^{m+1}X=0。实际上，0=A^{m+2}X=A^{m+1}AX，由****知AX也是A^mX=0的解，即A^mAX=0，所以证得结论。