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关于弓形面积求圆半径
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| 已知弓形面积以及其对应弦长，怎么求这个圆的半径？我列方程出来时个超越方程，解不出来，求教！ |
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soliton923
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soliton923
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【答案】应助回帖
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设弓形的弦长为a,面积为S，所对的圆心角为θ。 则S=θ/（2*π)*π*r2=θ*r2/2 而 Sin（θ/2）=(a/2)/r=a/(2*r) ,θ=2*arcsin[a/(2*r)] 故有：S= r2 * arcsin[a/(2*r)] 。 此方程中，S和a均已知，因此其为关于未知数r的一元非线性方程，先试着手工计算给出一个近似值，然后可用欧拉割线法或牛顿切线法求出其近似数值解。具体可参考数学分析中一元微分学的应用相关章节。例如：若S=10000mm2, a=100mm. 令 f（r)=S-r^2*arcsin[a/(2*r)] , f(r)=10000-r2*arcsin(50/r) 则 df/dr=-2*r*arcsin[a/(2*r)] -r2/sqrt{1-[a/(2*r)]2}*[-a/(2*r2)] =a/sqrt{4-[a/r]2}-2*r*arcsin[a/(2*r)] d2f/dr2=-2*arcsin[a/(2*r)] +a/sqrt[r2-(a/2)2]-{a/{r*sqrt[4-(a/r)2]}}3 r=150时，f(150)=10000-22500*arcsin(1/3)=2354＞0 r=200时，f(200)=10000-40000*arcsin(1/4)=-107.2＜0 故知: 150＜r＜200 因为d2f/dr2（r=200）=-6.2*10-3＜0，与f(200)同号，故以r=200为初值进行迭代。迭代公式： Rn= Rn-1 +f(Rn-1)/df/dr(R=Rn-1) r1=200-107.2/49.43=197.83128, r2=197.83128+0.020037/49.41868=197.83169 由于abs(r2-r1)/r1=2.05*10-6,可以认为r的值已经收敛。实际上，f(197.83169)=-0.0403。 |
9楼2013-11-06 20:08:30
peterflyer
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