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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于弓形面积求圆半径
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dearzyh

新虫 (初入文坛)

[求助] 关于弓形面积求圆半径

已知弓形面积以及其对应弦长，怎么求这个圆的半径？我列方程出来时个超越方程，解不出来，求教！
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1楼 2012-08-19 11:11:47
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soliton923

铁杆木虫 (职业作家)

数学村村长
★
lovibond: 金币+1, 感谢版主交流 2012-08-19 16:03:03
一个表达式里有R的二次项 一次项，还有关于R的三角函数，用机器吧~~可能得不到精确解，但是数值解应该是没有问题的
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soliton;sato-theory;algebre-geometry；Random-Matrices-Theory; Riemann-Hilbert method
2楼2012-08-19 13:00:49
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ccyzrb

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
lovibond: 金币+1, 鼓励交流 2012-08-19 16:03:21
{x^2*y/Pi - x^2*Sin[y] == s, 2 Sin[y/2]*x == b}, {x, y}
s面积
b弦长
x半径
y圆心角
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3楼2012-08-19 13:42:46
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ccyzrb

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

{x^2*y- x^2*Sin[y] = s, 2 Sin[y/2]*x = b}, {x, y}
s面积
b弦长
x半径
y圆心角
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4楼2012-08-19 13:51:30
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dearzyh

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by ccyzrb at 2012-08-19 13:42:46
{x^2*y/Pi - x^2*Sin == s, 2 Sin*x == b}, {x, y}
s面积
b弦长
x半径
y圆心角

能问下用什么软件呢？
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5楼2012-08-19 14:14:32
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soliton923

铁杆木虫 (职业作家)

数学村村长
引用回帖:
5楼: Originally posted by dearzyh at 2012-08-19 14:14:32
能问下用什么软件呢？...

mathematic or maple~~~符号计算软件
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soliton;sato-theory;algebre-geometry；Random-Matrices-Theory; Riemann-Hilbert method
6楼2012-08-19 22:51:22
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308032562

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

扇形面积等于半径乘以弧长除以2，类似三角形面积求法。
则：(2arcsin（L/2R))*(R^2)/4兀=S
L:弦长
R:半径
S:面积
一个方程解出未知数R。
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7楼2013-08-12 18:26:11
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

【答案】应助回帖

具体见附件，求金币2 个。
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    • 2013-08-13 10:20:24, 50.55 K
8楼2013-08-13 10:19:58
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

设弓形的弦长为a,面积为S，所对的圆心角为θ。
    则S=θ/（2*π)*π*r2=θ*r2/2
    而  Sin（θ/2）=(a/2)/r=a/(2*r)  ,θ=2*arcsin[a/(2*r)]
    故有：S= r2  * arcsin[a/(2*r)] 。
此方程中，S和a均已知，因此其为关于未知数r的一元非线性方程，先试着手工计算给出一个近似值，然后可用欧拉割线法或牛顿切线法求出其近似数值解。具体可参考数学分析中一元微分学的应用相关章节。例如：若S=10000mm2, a=100mm.
令 f（r)=S-r^2*arcsin[a/(2*r)] , f(r)=10000-r2*arcsin(50/r)
则 df/dr=-2*r*arcsin[a/(2*r)] -r2/sqrt{1-[a/(2*r)]2}*[-a/(2*r2)]
           =a/sqrt{4-[a/r]2}-2*r*arcsin[a/(2*r)]
d2f/dr2=-2*arcsin[a/(2*r)] +a/sqrt[r2-(a/2)2]-{a/{r*sqrt[4-(a/r)2]}}3
r=150时，f(150)=10000-22500*arcsin(1/3)=2354＞0
r=200时，f(200)=10000-40000*arcsin(1/4)=-107.2＜0
故知:       150＜r＜200
  因为d2f/dr2（r=200）=-6.2*10-3＜0，与f(200)同号，故以r=200为初值进行迭代。迭代公式：
Rn= Rn-1 +f(Rn-1)/df/dr(R=Rn-1)
  r1=200-107.2/49.43=197.83128,  r2=197.83128+0.020037/49.41868=197.83169
由于abs(r2-r1)/r1=2.05*10-6,可以认为r的值已经收敛。实际上，f(197.83169)=-0.0403。
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9楼2013-11-06 20:08:30
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

非常抱歉，刚才的应答是从word中复制粘贴的，由于此处上下标不分，导致里面的r^2全变成了r2，请楼主阅读时注意。若觉得可取，可告知信箱，我可发word文档。
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10楼2013-11-06 20:14:10
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