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高數中全微分的一些疑惑
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函数在点(x , y)的全增量 Δz=AΔx + BΔy + ο(ρ) ρ＝( (Δx) ∧2+（Δy)∧2)∧1\2这里面的ρ为什么要等( (Δx) ∧2+（Δy)∧2)∧1\2，这是怎么来的，是不是由于函数，沿着X 或Y的方向（因为偏微）这就好像和后边学的梯度函数一样的道理呢？请高手解答 另外对于多元复合函数的求导，z= φ（υ，ν）我们对x求偏微时，意思是整个函数中y不变，然而，我们再对复合函数求导时发现先令ν不变，对υ求偏微（假使也对x求偏微即y不变）而这时ν中也含有x，难道说这时ν不会发生变化吗？因此这时的ν是定不住的，请高手给与解释 |
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【答案】应助回帖
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ρ是点(x+Δx,y+Δy)到(x,y)的距离,引进微分的最初目的就是希望当点由(x,y)变为其邻点(x+Δx,y+Δy)时,能够用自变量增量的线性组合来近似计算函数值的全增量(从几何上讲,就是希望在一个点的附近用一小块平面来近似这个点附近的曲面片).现在大部分的教材上是先讲导数,再讲微分,但事实上微分思想要早于求导数(可以参考於崇华,金路等编《数学分析》). 多元复合函数中，u,v具有双重身份，它们是外层函数φ的自变量，又是内层函数的因变量。而在复合函数求导中，z关于u,v求导时，是外层函数φ求导。这时u，v是自变量，故可以暂时固定v对u求偏导。 |
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5楼2012-05-19 21:31:09
