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若(f(x),g(x))=1,f(A)=0,g(B)=0,证明AX=XB只有0解.
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thematicsroy
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
yasima2: 金币+15, ★★★★★最佳答案 2012-04-23 20:56:43
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设A为m阶矩阵，B为n阶矩阵： 设f1,g1为A,B的极小多项式，则有f1|f,g1|g,又（f,g）=1,可得（f1,g1)=1;由于极小多项式整除所有不变因子，可知极小多项式的根就是所有的特征根（算重数），从而由f1,g1互质可知A,B没有相同特征根； 取B的特征根为（a1,a2,...an）(可以有重复)，取相应的特征向量为（L1,L2,...Ln）（线性无关） 将ai乘于AX=XB两边得：A(XLi)=ai(XLi) 由于ai不是A的特征根，故有XLi=0，i=1,2,...n 令P=（L1,L2,...Ln）,得XP=0，又P可逆，得知X=0 |
2楼2012-04-21 12:23:00
thematicsroy
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3楼2012-04-21 12:26:15
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