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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 考研积分的一个概念问题
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zhe_summer

铁杆木虫 (正式写手)

[求助] 考研积分的一个概念问题

如果|f(x)|在[a,b]上可积，则f(x)也在[a,b]上可积
一看就知道这句话是错误的，可是自己就是找不出反例来
来请各位帮个忙
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从现在起开始努力还不晚！
1楼 2011-10-15 23:32:03
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alpha94

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

zhe_summer(金币+2): 感谢，不过不太明白 2011-10-16 22:25:03
先考虑一个序列求和极限，收敛不一定是绝对收敛的，比如 (-1)^n 1/n 对所有n求和，极限存在，但是取绝对值后极限不存在.  让[x] 表示x的整数部分，同样的 (-1)^[x] 1/x 在1到正无穷大上可积分，但是它的绝对值函数不可积。令x=1/t, 就可以将这个积分变成【0,1】上的积分了，它正是你所要的。
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2楼2011-10-15 23:56:05
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just_play

至尊木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

zhe_summer(金币+4): 感谢 2011-10-16 22:25:31
f(x)=1,若x为有理数
f(x)=-1，若x为无理数
则|f(x)|在[0,1]上黎曼可积，但f(x)在[0,1]上非黎曼可积
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So Trivial !
3楼2011-10-16 01:06:25
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zhe_summer

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by just_play at 2011-10-16 01:06:25:
f(x)=1,若x为有理数
f(x)=-1，若x为无理数
则|f(x)|在[0,1]上黎曼可积，但f(x)在[0,1]上非黎曼可积

f(x)的情况下，是不是就是分别以 有理数 和 无理数 作为分割点，得到的结果不一样，所以不可积呢？
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从现在起开始努力还不晚！
4楼2011-10-16 22:26:42
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west_with

银虫 (初入文坛)
★
小雨萌萌(金币+1): 3Q~ 2011-10-27 14:26:52
引用回帖:
4楼: Originally posted by zhe_summer at 2011-10-16 22:26:42:
f(x)的情况下，是不是就是分别以 有理数 和 无理数 作为分割点，得到的结果不一样，所以不可积呢？

是的，类似狄利克雷函数的不可积。
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5楼2011-10-25 14:37:02
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zhe_summer

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by west_with at 2011-10-25 14:37:02:
是的，类似狄利克雷函数的不可积。

谢谢
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从现在起开始努力还不晚！
6楼2011-10-25 22:53:21
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shengjielai

铁虫 (初入文坛)
这个好像只对于黎曼可积的情况，不是对于lebesgue可积，在后者的积分下，上述两者具有等价性。
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7楼2011-11-30 17:02:32
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