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sss111com

铁虫 (初入文坛)

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[求助] 一道极限题

(1-1/1*2)(1-1/2*3)........(1-1/n*(n+1))

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1楼 2011-10-06 23:51:49

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xuyx_78

金虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

sss111com(金币+8): 非常感谢 2011-10-08 03:14:31

(1-1/1*2)(1-1/2*3)........(1-1/n*(n+1))
=e^{\sum_{k=1}^{n}ln(1-1/k*(k+1))}
=e^{\sum_{k=1}^{n}[ln(k^2+k-1)-ln(k^2+k)}
=e^{ln1-ln(n^2+n)}
=e^{ln(1/(n^2+n))}
=1/(n^2+n)

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2楼2011-10-07 08:08:15

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lizhmath

金虫 (初入文坛)

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★ ★ ★
soliton923(金币+3): 谢谢参与讨论~~ 2011-10-09 21:40:09

可以利用Gamma函数的下面无穷乘积表示求解
$\frac{1}{\Gamma(1+z)}=e^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty(1+ z/n)e^{-z/n}$
其中， $\gamma$ 是Euler常数。
本题可如下计算：设
$x^2+x-1=(x+\alpha)(x+\beta)$
注意有 $\alpha+\beta=1$ 。我们有
$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{1}{n(n+1)} \right )=\prod_{n=1}^\infty\frac{(n+\alpha)(n+\beta)}{n(n+1)}\\ =\prod_{n=1}^\infty\frac{n+\alpha}{n}e^{-\alpha/n}\frac{n+\beta}{n}e^{-\beta/n}\frac{n}{n+1}e^{(\alpha+\beta)/n}\\ =\frac{\prod_{n=1}^\infty(1+\alpha/n)e^{-\alpha/n}\prod_{n=1}^\infty(1+\beta/n)e^{-\beta/n}}{\prod_{n=1}^\infty(1+1/n)e^{-1/n}}\\ =\frac{\Gamma(2)e^{\gamma}}{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(1+\beta)e^{(\alpha+\beta)\gamma}}=\frac{1}{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(1+\beta)}\\ =\frac{1}{\Gamma((3+\sqrt{5})/2)\Gamma((3-\sqrt{5})/2)}$

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3楼2011-10-09 21:20:21

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lsy181

4楼2011-10-13 16:26:04

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