24小时热门版块排行榜

返回列表

当前只显示满足指定条件的回帖，点击这里查看本话题的所有回帖

sss111com

铁虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 13
帖子: 30
在线: 9.9小时
虫号: 1397010
注册: 2011-09-10
专业: 有机合成

[求助] 一道极限题

(1-1/1*2)(1-1/2*3)........(1-1/n*(n+1))

回复此楼

» 猜你喜欢

有没有人能给点建议已经有5人回复
假如你的研究生提出不合理要求已经有12人回复
实验室接单子已经有7人回复
全日制（定向）博士已经有5人回复
萌生出自己或许不适合搞科研的想法，现在跑or等等看？已经有4人回复
Materials Today Chemistry审稿周期已经有4人回复
参与限项已经有3人回复
对氯苯硼酸纯化已经有3人回复
所感已经有4人回复
要不要辞职读博？已经有7人回复

1楼 2011-10-06 23:51:49

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

lizhmath

金虫 (初入文坛)

数学EPI: 1
应助: 0 (幼儿园)
金币: 3258.3
红花: 2
帖子: 32
在线: 97.1小时
虫号: 928915
注册: 2009-12-15
性别: GG
专业: 数论

★ ★ ★
soliton923(金币+3): 谢谢参与讨论~~ 2011-10-09 21:40:09

可以利用Gamma函数的下面无穷乘积表示求解
$\frac{1}{\Gamma(1+z)}=e^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty(1+ z/n)e^{-z/n}$
其中， $\gamma$ 是Euler常数。
本题可如下计算：设
$x^2+x-1=(x+\alpha)(x+\beta)$
注意有 $\alpha+\beta=1$ 。我们有
$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{1}{n(n+1)} \right )=\prod_{n=1}^\infty\frac{(n+\alpha)(n+\beta)}{n(n+1)}\\ =\prod_{n=1}^\infty\frac{n+\alpha}{n}e^{-\alpha/n}\frac{n+\beta}{n}e^{-\beta/n}\frac{n}{n+1}e^{(\alpha+\beta)/n}\\ =\frac{\prod_{n=1}^\infty(1+\alpha/n)e^{-\alpha/n}\prod_{n=1}^\infty(1+\beta/n)e^{-\beta/n}}{\prod_{n=1}^\infty(1+1/n)e^{-1/n}}\\ =\frac{\Gamma(2)e^{\gamma}}{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(1+\beta)e^{(\alpha+\beta)\gamma}}=\frac{1}{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(1+\beta)}\\ =\frac{1}{\Gamma((3+\sqrt{5})/2)\Gamma((3-\sqrt{5})/2)}$

赞一下(1人)

回复此楼

3楼2011-10-09 21:20:21

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

查看全部 4 个回答

xuyx_78

金虫 (小有名气)

应助: 39 (小学生)
金币: 1714.5
红花: 1
帖子: 176
在线: 80.3小时
虫号: 1385856
注册: 2011-09-01
专业: 计算数学与科学工程计算

【答案】应助回帖

sss111com(金币+8): 非常感谢 2011-10-08 03:14:31

(1-1/1*2)(1-1/2*3)........(1-1/n*(n+1))
=e^{\sum_{k=1}^{n}ln(1-1/k*(k+1))}
=e^{\sum_{k=1}^{n}[ln(k^2+k-1)-ln(k^2+k)}
=e^{ln1-ln(n^2+n)}
=e^{ln(1/(n^2+n))}
=1/(n^2+n)

赞一下

回复此楼

2楼2011-10-07 08:08:15

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

查看全部 4 个回答